viernes, 16 de mayo de 2014

HISTORIA DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES




Los problemas del Caballero de Meré

Tomado con moderación, el juego por dinero tiene virtudes innegables. Mientras que la indulgencia a sus placeres ha estado siempre más allá de la valla del temor a los fuegos del infierno, los grandes casinos y las respetables compañías de seguros se levantan como monumentos a una ciencia que tuvo sus orígenes en el cubilete de dados.
Cierto día del año 1654, Blaise Pascal (1623-1662) hacía un viaje en compañía de un escritor francés llamado Antonie Gombaud (1607-1684), quien a pesar de no pertenecer a la nobleza adoptó el titulo de Chevallier (Caballero) y como había estudiado en Meré, era conocido como el Caballero de Meré. Este Caballero era una persona apasionada por todo lo relacionado con el juego de los dados y las cartas, siendo además un hombre noble e ilustrado. Él creyó haber encontrado una falsedad en los números al analizar el juego de los dados, observando que el comportamiento de los dados era diferente cuando se utilizaba un dado que cuando se empleaban dos dados. La “falsedad” partía simplemente de una comparación errónea entre las probabilidades de sacar un seis con un sólo dado o de sacar un seis con dos dados. Para el Caballero debía existir una relación proporcional entre el número de jugadas necesarias para conseguir el efecto deseado en uno y otro caso. El problema estaba en que el citado caballero no tuvo en cuenta que en el segundo caso estaba analizando una probabilidad compuesta en donde las distintas probabilidades se deben calcular multiplicativamente.
Éste y otros problemas planteados por el caballero a Pascal sobre cuestiones relacionadas con diferentes juegos de azar dieron origen a una correspondencia entre el propio Pascal y algunos de sus amigos matemáticos, sobre todo con Pierre de Fermat (1601-1665) de Toulouse, abogado de profesión pero gran amante de la matemática.
Esta correspondencia constituye el origen de la teoría moderna de la probabilidad.
En una carta de Pascal a Fermat, en la que narraba la anécdota anteriormente mencionada, concluía que "el Caballero de Meré tiene mucho talento, pero no es geómetra; esto es, como sabes, un gran defecto". (Carta del 29 de julio de 1654).
En aquella época el juego de azar estaba prohibido y el castigo era la cárcel, debido a esto muchas veces las partidas debían suspenderse y el dinero era repartido de forma justa entre los apostadores. Una vez el Caballero de Meré se econtró en la siguiente situación: En una partida de dados intervienen dos jugadores y apuestan 32 doblones de oro cada uno, eligiendo un número diferente, gana el juego el primero que obtenga tres veces el número que eligió. Después de un rato de juego, el número elegido por el primer apostador ha salido dos veces mientras el otro jugador sólo una vez ha acertado, en este instante la partida debe suspenderse. ¿Cómo dividir los 64 doblones de oro apostados? ¿En qué proporción ha de ser compensado cada jugador?
En la correspondencia que siguió a este problema, tanto Pascal como Fermat estuvieron de acuerdo en que el primer jugador tiene derecho a 48 doblones de oro.
Veamos el último de los problemas históricos (al ser su solución parte del inicio de la probabilidad actual) que propuso el caballero y resolvieron Pascal y Fermat:

Se lanza 24 veces un par de dados, ¿es conveniente apostar a favor o en contra de la aparición de por lo menos un doble seis?

Solución:
A= {No sacar un doble seis en una tirada de dos dados},
P(A) = 35/36
P(A y A y A………24 veces….y A) = (35/36)24
Este número vale aproximadamente 0,508596 y por lo tanto la probabilidad del suceso contrario será:
1 –  P(A y A….24 veces…y A)
= 1 – 0,508596 = 0,491404
Es decir, es más probable no obtener una vez un doble seis en 24 tiradas que obtenerlo al menos una vez. En cambio, para 25 tiradas cambian las cosas, pues: 1 – (35/36)25= 0,505531.
Pascal y Fermat resolvieron este problema y muchos otros, y fueron los que comenzaron a formalizar la teoría de las probabilidades, probando el desacuerdo con el caballero de Meré, que se debía a que era erróneo el cálculo que había efectuado, ya que se equivocó en considerar equiprobables sucesos que no lo eran, y sólo cuando los casos posibles son equiprobables tiene sentido aplicar la definición que él había dado.
Las aportaciones de Pascal a las probabilidades se extienden a muchos campos como el de la filosofía e incluso al de la teología, intentando argumentar la creencia en Dios en términos probabilísticas y gananciales, en sus propias palabras: "Si creemos en Dios y él no existe, no perdemos nada, pero si no creemos en él y existe, lo perdemos todo" (probabilística y ganancialmente es mejor creer que no creer, es decir, es mejor actuar como si existiera, por si acaso existe).

Un triángulo casi mágico

Pascal publicó una obra llamada Tratado sobre el triángulo aritmético, la más importante contribución realizada hasta la fecha en el ámbito de la combinatoria. El libro se basa en la construcción y propiedades combinatorias del Triángulo de Pascal. Este triángulo es también llamado Triángulo de Tartaglia, ya que el ingeniero y matemático italiano Niccolò “Tartaglia” Fontana (1500-1557) ya había puesto los números combinatorios formando un triángulo y estudiado algunas de sus propiedades.
El Triángulo de Pascal tiene la siguiente forma:

Algunas propiedades del Triángulo de Pascal son:
ü  La k-ésima entrada de la n-ésima columna es igual al número combinatorio nCk.
ü  La suma de todos los elementos de la fila n-ésima es 2n.
ü  Si tomamos a cada fila como un solo número, estos serán las potencias de 11 (en la quinta fila, por ejemplo, al diez se lo transforma en un cero y se suma 1 al siguiente número, en este caso el número que queda es 161051, que es igual a 115).
ü  Los números de cada fila son los coeficientes de la potencia de un binomio.
ü  La tercera diagonal es la sucesión de los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
ü  Sumando sus números en forma diagonal se obtienen los términos de la sucesión de Fibonacci. En el triángulo anterior aparecen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.

Otros que no pueden ser olvidados

Casi un siglo antes de Pascal y Fermat, un médico y matemático italiano llamado Gerolamo Cardano (1501-1576) realizó los primeros descubrimientos del cálculo de probabilidades, utilizándolo para ganar dinero en juegos de apuestas, uno de los tantos vicios que tenía. Su compatriota Galileo Galilei (1564-1642) escribió un artículo en el cual, por medio de combinatoria, realiza cálculos de probabilidades en un juego de tres dados.
Ni Pascal ni Fermat expusieron sus resultados por escrito y fue el físico-matemático holandés Christiaan Huygens (1629-1695) quien en 1657 publicó un breve tratado titulado "De ratiocinnis in ludo aleae" (sobre los razonamientos relativos a los juegos de dados) inspirado en la correspondencia sostenida entre los dos creadores de la teoría. En su obra extendió algunos resultados de Pascal y aclaró varios problemas para tres o más jugadores.
El matemático y astrónomo francés Pierre Simon Laplace (1749-1827) también trabajó sobre la teoría de la probabilidad en sus obras Teoría analítica de las probabilidades (1812) y Ensayo filosófico sobre la probabilidad (1814). Laplace dio la definición clásica de probabilidad que sería usada por más de un siglo, hasta la aparición de la teoría de conjuntos:

El problema es que todos estos casos deben ser equiprobables, por lo que, para definir probabilidad con esta fórmula, se debe utilizar la palabra equiprobable.
Las distribuciones de probabilidad discretas son llamadas de Bernoulli, en honor al matemático suizo Jakob Bernoulli (1654-1705), quien estuvo siempre al último grito de la moda en lo que se refiere a la matemática contribuyendo en gran medida, entre otras cosas, al cálculo de probabilidades y al cálculo diferencial recientemente descubierto por Newton y Leibniz.
       La curva normal fue descubierta por Abraham de Moivre (1667-1754), quien publicó sus descubrimientos en 1733. A pesar de esto, suele ser llamada curva (o campana) de Gauss.
       Siméon Denis Poisson (1781-1840), físico y matemático francés discípulo de Laplace, es conocido por sus contribuciones teóricas a la electricidad y al magnetismo, aunque también publicó obras sobre el cálculo de variaciones, la geometría diferencial y la teoría de la probabilidad. La distribución de Poisson es un caso particular de distribución de Bernoulli.
       El matemático ruso Andrei Andreyevich Markov (1856-1922), es famoso por sus “Cadenas de Markov”. Halló la manera de calcular sucesos aleatorios dependientes de manera muy rápida mediante el uso de matrices y vectores. Sus estudios han encontrado aplicaciones en una ciencia tan moderna como lo es la herencia genética.


               Axiomática de probabilidad

       En 1933, el matemático ruso Andrei Kolmogórov (1903-1987), desarrolló la base axiomática que supone el pilar básico de la teoría de la probabilidad, logrando así fundamentarlo en la teoría de conjuntos. Quedó entonces bien definido el concepto de probabilidad.
A1) La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que 0.

A2) La probabilidad del total (del espacio muestral) Ω es igual a 1.


A3) Si A1 y A2 son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles, disjuntos o de intersección vacía), entonces:


Este axioma se generaliza de la siguiente manera:


Si A1, A2, A3, … son sucesos mutuamente excluyentes dos a dos, entonces:

       Utilizando estos tres axiomas se demuestran numerosos teoremas como los siguientes:
T1) La probabilidad del suceso vacío es 0.



T2) La probabilidad del complemento de un suceso es igual a la diferencia entre 1 y la probabilidad del suceso.



T3) La probabilidad de la unión de sucesos es igual a la suma de las probabilidades de dichos sucesos, menos la probabilidad de la intersección.

T4) Si A está contenido en B, la probabilidad de A es menor o igual a la probabilidad de B.

 

Bibliografía

ü  Kasner, E., Newman, J. (1985). Matemáticas e Imaginación. España. Editorial Hyspamérica Ediciones S. A.
ü     Newman, J. (1977). Sigma, el mundo de las matemáticas. Barcelona, España. Editorial Grijalbo.
ü   Courant, R., Robbins, H., Stewart, I. (2010). ¿Qué son las matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales. México. Editorial Fondo de Cultura Económica.
ü      Bell, E. T. (2010). Historia de las matemáticas. México. Editorial Fondo de Cultura Económica.
ü    Rey Pastor, J., Babini, J. (2006). Historia de la Matemática, Volúmenes 1 y 2. Barcelona, España. Editorial Gedisa.
ü   Stewart, I. (2009). Historia de las matemáticas en los últimos 10.000 años. Tercera edición. Barcelona, España. Editorial Crítica.


CÓMO GANAR EN LA RULETA



       Algunos jugadores pusieron mucho esfuerzo e ingenio para inventar métodos para perder su dinero, y la ruleta ha sido siempre una de las fuentes más fecundas de tales “sistemas ganadores”. He aquí uno de ellos:
    Supongamos que el jugador juegue siempre una de las combinaciones, tales como rojo o negro, par o impar, que pagan 1 a 1 al ganador. El jugador comienza por apostar una unidad. Si gana, el ciclo termina y otra vez el jugador apuesta 1 unidad, si pierde, duplica su apuesta, para así recuperar lo perdido anteriormente. Si vuelve a perder, debe volver a duplicar su apuesta, es decir, apostar 4 unidades, para recuperar las 3 unidades anteriormente perdidas (1 de la primera apuesta más 2 de la segunda). Si vuelve a perder apuesta 8, etc.
      Se advierte al lector que en este tipo de sistemas ganadores, el ritmo de ganancia es muy lento, mientras que el de la pérdida es muy rápido.

       Para estar aún más seguros, los casinos poseen otras ventajas sobre el jugador:

v  Las ruletas, además de los 36 primeros naturales, contienen al 0 y al 00, estos no son considerados rojos ni negros, pares ni impares[1]. Con esto, pagan 1 a 1 en un juego que en realidad no da esta relación en cada tirada, las posibilidades de ganar no son 1/2, sino 18/38. En matemática, un juego en donde la ventaja es igual para ambos jugadores es llamado legal, en la ruleta, la casa posee la ventaja.

v  No está permitido duplicar la apuesta más de una cierta cantidad de veces, o bien la casa posee un límite de apuesta máxima.

v Por último, pero no menos importante, cabe mencionar cuestiones como la música y los sonidos de las máquinas que incentivan la apuesta descontrolada.[2]

     Otros sistemas se basan en hacer apuestas imaginarias y, luego de varias rondas seguidas sin ganar, lo aparentemente más probable es que a partir de entonces, en las próximas rondas, se acierte. Pero en la ruleta, como en cualquier otra cuestión de probabilidades, lo que haya ocurrido anteriormente no influye en lo que ocurrirá. Por ejemplo, si lancé una moneda cinco veces y en todas las tiradas obtuve una cara, en la sexta tirada la probabilidad de obtener una nueva cara es exactamente… 50 %.




[1] El 0 es un número par (es un múltiplo de 2), pero a los dueños de casinos les preocupa poco la aritmética.
[2] Estas ventajas son aparte de las posibles trampas que pueda haber en una máquina de apuestas.

PARADOJAS Y METALENGUAJES




Más allá de lo creíble

       Una paradoja es una idea extraña, opuesta a lo que el sentido común considera como verdadero o falso. Puede tratarse de una situación hipotética que envuelve una contradicción, o incluso una simple frase a la cual no se le puede asignar un valor de verdad. El término paradoja proviene del griego paradoxus, formado por la preposición para, que significa “más allá” y la raíz doxon, que significa “opinión” o “creencia”. Es decir, para los antiguos griegos, una paradoja es algo que está más allá de lo creíble.
       Es imprescindible un correcto uso de las capacidades de abstracción de la mente para lograr una compresión de una paradoja. El objetivo de su estudio no es necesariamente que el alumno aporte ideas imaginativas y fabulosas para su resolución, sino su correcta interpretación y análisis.
       Algunas paradojas, como por ejemplo las conocidas paradojas de Zenón, han hecho que muchos pensadores realizaran estudios totalmente originales para su resolución, por lo que terminaron siendo el incentivo de grandes descubrimientos y un avance de la ciencia.
       Algo muy importante del análisis de la mayoría de las paradojas es la relación con el infinito, ya que, como veremos en muchos ejemplos, aparecen regresiones infinitas en sus proposiciones, ya que la veracidad de una termina implicando su propia falsedad y su falsedad implica su veracidad.
       Se pueden clasificar a las paradojas según su naturaleza, o según la causa de su contradicción. Diferentes autores las clasifican según diferentes categorías e incluso lo que es una paradoja para algunos, no lo es para otros. Una manera de clasificarlas es en: antinomias, antinomias de definición, dibujos paradójicos, paradojas verídicas, paradojas condicionales y paradojas específicas de un área de conocimiento. Esta es la que seguiremos en este texto, aunque es sólo una manera arbitraria de diferenciarlas y de hecho algunos de los ejemplos que veremos podrían ubicarse en más de una categoría a la vez.
       A continuación veremos una selección de las paradojas más famosas e importantes de la historia de la fundamentación de la matemática. Algunas pueden analizarse en unos pocos renglones, otras tomarían hojas o incluso libros enteros, y hay paradojas que continúan desconcertando hasta a los más brillantes, presentándonos problemas sin respuesta aparente. Sucede que la búsqueda de la verdad también es paradójica, precisamente la paradoja del conocimiento dice:
“El hombre busca respuestas y encuentra preguntas”
...

IDEAS MODERNAS EN MATEMÁTICA


El método axiomático

      El método axiomático fue instaurado por Euclides en el siglo III a.C. en su obra Elementos, la cual trata principalmente sobre geometría (la geometría euclidiana). Si bien los conocimientos que incluye su obra no son propios de él, sí lo es la elección, secuenciación y, lo más importante, el método que emplea para ir definiendo nuevos elementos a partir de otros más simples y la demostración de propiedades a partir de otras más evidentes. La teoría que desarrolla en su obra es un sistema axiomático, esto es: un conjunto de propiedades llamadas axiomas y postulados a partir de los cuales, mediante el uso de deducciones lógicas, se obtienen nuevas propiedades llamadas proposiciones. En la actualidad no se hace diferencia entre axioma y postulado y a las propiedades que se demuestran con ellos se las llama teoremas. Una de las críticas que se le hizo a la obra de Euclides fue la de definir todo, inclusive aquellos elementos considerados como primitivos, como punto y recta. Así como él implementa el reduccionismo atomista en las proposiciones, lo mismo debería ocurrir en las definiciones, pero la definición con fines didácticos podrían justificar este hecho, además, Euclides pudo haber querido simplemente proponer una desmaterialización de los objetos matemáticos cuando dio definiciones como "punto es una cosa que no tiene partes" y "recta es longitud sin anchura", ya que, luego de estas afirmaciones, queda claro que estos entes únicamente pueden existir en nuestra imaginación, ya que la realidad sólo podría proporcionarnos modelos imperfectos de ellos.
     En el año 1899 el matemático alemán David Hilbert (1862-1943) publicó su obra Fundamentos de la geometría donde realiza una construcción axiomática rigurosa de la geometría euclidiana y propone, además, la osada idea de axiomatizar no sólo la matemática, sino también la física. Al igual que en Elementos, lo riguroso de esta nueva construcción consistió en establecer la compatibilidad de los axiomas que emplea, esto es que sus consecuencias no sean contradictorias entre sí y por otra parte su independencia, es decir que un axioma o grupo de axiomas no pueda ser demostrado utilizando los otros. Hilbert establece algunas diferencias luego de revisar detenidamente las “debilidades” de la obra de Euclides. Un importante cambio de este sistema axiomático moderno es que los axiomas no son verdades evidentes, como decía Euclides, sino que a ellos sólo se les exige que no presenten ninguna inconsistencia con la teoría de la cual forman parte, y además establece que la teoría desarrollada no necesariamente debe tener concordancia con la realidad del mundo físico. Hilbert adhiere al modelo clásico de ciencia de Aristóteles en decir que ciertos elementos de una teoría no deben definirse, por ser considerados entes primitivos, y son las relaciones entre ellos (formulados como axiomas y teoremas) los que nos explican sus propiedades. Hilbert además aclara que no es necesario asignar un concepto explícito a los conceptos indefinidos, según él: "Los elementos tales como punto, recta y plano, podrían sustituirse con mesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos, ya que lo que se discute y desarrolla son sus relaciones definidas".
       La matemática para David Hilbert es un conjunto de fórmulas constituidas por ciertos símbolos que no hacen referencia a objetos del mundo que nos rodea, sino que es como un juego sin sentido. Para él, los fines prácticos no son la esencia de la matemática, por lo que siempre estuvo más interesado en los problemas de la metamatemática, ciencia encargada de analizar los fundamentos de la matemática. Con este fin propuso en 1920 lo que se conoció como el Programa de Hilbert. Su objetivo era la demostración de la consistencia de la aritmética elemental, es decir fundar un sistema axiomático de la misma que sea completo y esté libre de contradicciones, luego se podría fundamentar a toda la matemática a partir de éste. En 1931 el matemático y filósofo austríaco Kurt Gödel (1906-1978) demostró el teorema de la incompletitud, éste dice que en todo sistema axiomático de aritmética existe al menos una propiedad que se supone verdadera que no puede demostrarse con elementos del mismo sistema. De ninguna manera esto significó la caída del sueño de Hilbert, él fue muy optimista respecto a la demostración de este teorema y, modificando algunos de sus objetivos iniciales, cierta parte de su programa pudo ser exitosamente completada.

Condiciones de un sistema axiomático

   Al crear un sistema axiomático, el objetivo es que el mismo cumpla con ciertas características o condiciones lógicas, éstas son: consistencia (también llamada compatibilidad), independiencia, saturación (también llamada completitud o integridad) y accesibilidad.

Consistencia:
   Un sistema de axiomas es compatible, o consistente, cuando operando lógicamente con sus axiomas no es posible llegar a demostrar que una proposición y su opuesta son verdaderas. Para demostrar que esta propiedad no se cumple es necesario encontrar tan solo un ejemplo.

Independencia:
    Significa que ningún axioma del sistema, o parte de él, puede ser deducido de los restantes. Por lo dicho anteriormente, un sistema con dos axiomas iguales o equivalentes, obviamente no es independiente. Esta propiedad no es imprescindible en la construcción de un sistema axiomático. Mientras que un sistema inconsistente es totalmente inútil y objetable desde la lógica, no puede hacerse ningún tipo de objeción lógica al hecho de que los axiomas de un sistema sean dependientes.
     Si un axioma puede demostrarse a partir de los demás, entonces estaría probado que no es independiente. No obstante, al igual que sucedía con la consistencia, el hecho de que no pueda probarse la redundancia no prueba que sea independiente. Sin embargo, si negando un axioma (cambiándolo por otro que sea contrario al mismo) se crea un nuevo sistema axiomático sin contradicciones, eso implicaría que ese axioma es independiente, por el contrario, si al negarlo obtuve un sistema inconsistente, la conclusión a la que arribaría sería que el axioma depende de los otros y, por lo tanto, es dependiente. En este último caso la teoría que se desarrollaría con un sistema axiomático sin ese axioma dependiente sería la misma que la que se desarrolla agregándolo.
  La pregunta respecto al quinto postulado de Euclides era precisamente si éste podía ser demostrado a partir de los demás, lo cual implicaría que el sistema axiomático de su obra Elementos no es independiente.
     Vale aclarar que a veces, para que la exposición de la teoría sea más accesible, se agregan axiomas dependientes con fines didácticos a un sistema axiomático.

Saturación:
     Que un sistema este saturado, o que sea completo, significa que toda proposición lógicamente deducida en la teoría, determinada por esos axiomas, es necesariamente verdadera o falsa.
    A un sistema axiomático completo no es posible añadirle axiomas nuevos si que se convierta en dependiente o inconsistente. Si se agregan más axiomas independientes a un sistema, éste estará más limitado, será menos general, hasta que no se podrán agregar nuevos axiomas independientes sin perder la consistencia; en este punto se dice que el sistema axiomático está saturado.
      Esta propiedad suele ser la más difícil de comprobar.

Accesibilidad:
     La simpleza de los axiomas es importante para que el sistema sea fácil de comprender. Un mismo axioma puede expresarse de infinitas maneras distintas equivalentes, el creador del mismo es quien debe presentar los axiomas de un modo “agradable”. Los axiomas deben ser además fértiles para poder obtener con ellos numerosos teoremas sin la necesidad de realizar demasiados pasos. Un ejemplo conocido de la sustitución de un axioma por otro equivalente fue cambiar el viejo quinto postulado de Euclides “Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en que están los ángulos menores que dos rectos” por el sencillo “Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela” del matemático y físico escocés John Playfair (1748-1819).
     Esta última característica de los sistemas axiomáticos no es en realidad una condición lógica, pero no por eso es menos importante que la consistencia, la independencia y la saturación. Como diría nada menos que el matemático alemán considerado padre del análisis moderno, Karl Weierstrass (1815-1897):
"Un matemático que no es también un poco poeta, no será jamás un matemático completo".

Características de la matemática de hoy

     Se puede decir que la matemática está separada de la filosofía en el sentido en que no necesita depender de la intuición, y no es parte de la lógica, sino que utiliza sus reglas para demostrar, pero no existen reglas para obtener los axiomas y enunciados, ya que allí reside la creatividad y la imaginación del matemático.

     La matemática, en la actualidad, se caracteriza por:

1)  Emplear el método axiomático, que consiste en:
a)  Enunciar un conjunto de axiomas (nociones primeras).
b)  Deducir, de acuerdo con la lógica, la consecuencia de esos axiomas, es decir, los teoremas matemáticos.
Un axioma es una proposición que se toma como verdadera, no por su evidencia, sino porque no es contradictoria dentro del cuerpo de doctrina al cual pertenece. Su veracidad no se demuestra.

2)  Tender a una unificación de todas las ramas. En este aspecto desempeña un papel fundamental la teoría de conjuntos.
Ej.: Luego del Renacimiento nació la geometría analítica, la cual unificó a la geometría con el  álgebra.

3)  Basarse en estructuras algebraicas, es decir, elementos de uno o varios conjuntos y una o varias operaciones definidas en ellos.
Si quisiéramos definir matemática en una breve frase, una muy buena opción es:

     La matemática es la ciencia de las estructuras.


Metodología de la matemática de hoy

    La matemática se estructura con dos clases de elementos, los conceptos por una parte, y las proposiciones y relaciones por otro.
  En esta estructuración intervienen dos procesos: el de conceptuación y el de demostración. El primero corresponde a un encadenamiento de conceptos, el segundo, a un proceso de encadenamiento entre proposiciones y relaciones. Este último proceso se llama demostración.
      Los conceptos matemáticos son entes abstractos que resultan de considerar objetos o conjuntos de objetos que, a su vez, pueden ser reales o no.

Existen cuatro tipos de conceptos:

1)  La definición nominal explícita: introduce palabras nuevas. No son proposiciones. Ej.: “Un triángulo equilátero es el que tiene sus tres lados congruentes”, “Un número natural es primo si no tiene otros divisores más que sí mismo y la unidad”.

2)  La definición por abstracción: es la que se obtiene al dividir un conjunto en diferentes particiones.
Ej.: “Los números con resto 1 tras dividir por 3”.

3)  La definición por recurrencia: utiliza el principio de inducción completa., más que definiciones son un tipo de razonamiento constructivo.
Ej.: “Sea a un número natural, su siguiente, a + 1, también los es”.

4)  La axiomática. Axiomatizar una teoría significa:
ü Establecer un conjunto de conceptos llamados conceptos primitivos.
ü  Establecer un conjunto de proposiciones y relaciones primitivas llamados postulados o axiomas que se aceptan como verdades sin demostraciones.
ü  Todo otro concepto que se establezca en la teoría debe ser definido lógicamente y toda otra proposición que se formule deberá hacerse a partir de los conceptos y proposiciones primitivas o de otras que hayan sido deducidas con los recursos de la lógica.

¿Demostrar, justificar o verificar?

    Se llama demostración o raciocinio matemático a la combinación o enlace de dos o más proposiciones para obtener nuevas proposiciones y relaciones. Es un razonamiento de un número finito de pasos que se realiza con una lógica válida que progresa a partir de ideas que se dan por ciertas (llamadas hipótesis) hasta la afirmación que se esté planteando, o sea, hasta obtener la veracidad de la tesis formulada. Cuando se demuestra una propiedad no debe esperarse que la misma se considere demostrada de aquí a la eternidad. Por lo tanto, por más sutil que parezca el error, no debe utilizarse, por ejemplo, la expresión “El teorema de Pitágoras está demostrado en la obra Elementos de Euclides”, sino “Euclides demostró el teorema de Pitágoras en su obra Elementos”, ya que por más rigurosa que sea una demostración, la misma se irá perdiendo con el correr del tiempo. Siempre que se exprese que determinado resultado fue demostrado, debe entenderse que fue aceptado como válido por los matemáticos de la época en que se realizó, con su propia elección de axiomas, metodología y vocabulario específico. De todos modos, las críticas que se le puedan hacer a un antiguo trabajo no lo desacreditan. Ya vimos como la matemática actual ha requerido que hasta la mismísima obra de Euclides sea revisada, a pesar de haber sido lo máximo en lo que concierne a rigor en su época.

Como dijo Henri Poincaré (1854-1912) en el año 1900:
“¿Hemos alcanzado por fin el rigor absoluto? En cada fase de la evolución, nuestros padres creyeron que ellos también la habían alcanzado. Si ellos se engañaban, ¿no nos estaremos engañando nosotros también?”

    Una justificación es un razonamiento de menor rigor que una demostración, pero que sirve en determinadas ocasiones para validar una propiedad.
    Una verificación es simplemente ver que para un ejemplo una cierta propiedad se cumple; haría falta hacer lo mismo para todos los casos posibles para asegurarse de que la propiedad es verdadera, y a veces la cantidad de casos posibles es infinita.
   Luego de la demostración de una propiedad, a veces otras propiedades, ya conocidas o no, son casos particulares de ésta o simplemente son una consecuencia de la misma. Se llama corolario a una propiedad que se desprende de la demostración de otra y que, por lo tanto, no requiere de una nueva demostración.
   La demostración es la prueba de mayor rigor que existe en matemática para asegurar la veracidad de una cierta propiedad. 

Según Gauss:
"Empleo la palabra prueba no en el sentido de los abogados, para quienes dos medias pruebas son una prueba completa, sino en el sentido matemático, donde 1/2 de prueba es igual a 9 y se exige de una demostración que haga imposible cualquier género de duda".

Tres maneras de demostrar

   Hoy, en matemática, se aceptan tres maneras diferentes de demostrar una propiedad:

Demostración directa

Las demostraciones directas suelen ser las más intuitivas, es el tipo de demostración que se suele usar en geometría.
Los pasos a seguir son los siguientes:
1)  HIPÓTESIS (H)
Se parte de uno o más axiomas y, si se desea, de una o más proposiciones que hayan sido demostradas anteriormente en la teoría, las cuales son entonces siempre verdaderas.
2)  TESIS (T)
Se afirma que una nueva proposición es verdadera.
3)  DEMOSTRACIÓN (D)
Se prueba que H => T es verdadero.

Demostración indirecta

    La demostración indirecta es también llamada demostración por reducción al absurdo. Se suele utilizar para demostrar la existencia de elementos a partir de la imposibilidad de demostrar su no existencia. Los elementos cuya existencia es demostrada por demostración indirecta suelen ser aquellos con alguna relación con el infinito.
     En este tipo de demostración se intenta demostrar lo contrario de aquella propiedad que realmente deseo probar, luego, al fracasar, demuestro lo que me había propuesto en primer lugar.
Los pasos a seguir son los siguientes:
1) Quiero demostrar que T es verdadero, así que comienzo mi demostración partiendo de que T es falso, o lo que es lo mismo, ~T es verdadero.
2)  Se prueba que ~T => ~H es verdadero.
3)  H => T  por ser contrarrecíproca de la demostrada en el punto anterior.
4)  Como H es verdadero, resulta T verdadero.
Por ejemplo, la demostración de que un axioma es dependiente de los demás se puede hacer en forma directa (deduciéndolo de los otros) o en forma indirecta (negándolo y luego observar si el nuevo sistema creado es o no consistente).

Demostración por recurrencia

     Este tipo de demostración es también llamado demostración por inducción completa. Si bien la matemática es una ciencia esencialmente deductiva, hoy se aceptan las demostraciones de este tipo como igualmente validas que las otras dos. Se utiliza principalmente en teoría de números y en el análisis de funciones.
Los pasos a seguir son los siguientes:
1)  Probar que 1 (o cualquiera sea el primer elemento del conjunto en cuestión) cumple la propiedad.
2)  Se acepta que el número natural h también la cumple.
3)  Se demuestra que si h cumple la propiedad, h + 1 también la cumple.
4)  Todos los números naturales tienen esa propiedad.
Este tipo de demostración no utiliza únicamente reglas de la lógica, sino que es propia de la matemática, en parte por involucrar al infinito.

Teoremas y conjeturas

   En la actualidad, los problemas sin respuesta que presenta la matemática son, en su mayoría, respecto a falta de rigor y de demostraciones. Son muchas las cuestiones que faltan resolverse, no tanto en matemática aplicada, sino más bien en matemática teórica, es decir, en cuestiones que sólo interesan a los matemáticos. Podría decirse que la matemática puede responder prácticamente a cualquier pregunta que le hagan las otras ciencias, pero no puede responder a muchas preguntas que ella misma se hace. Esto es precisamente lo que la hace crecer, no sólo por las preguntas aparentemente importantes, sino también por aquellas preguntas que parecen sencillas, que nacen casi como un juego, pero que para poder hallar su respuesta es necesario desarrollar montones de conceptos nuevos, lo que hace que finalmente la respuesta a aquella pequeña pregunta sea mucho más importante que la pregunta en sí.
 Muchos encunciados aparentemente ciertos carecen de demostración, a estos se los llama conjeturas, las cuales, cuando sean demostradas, pasarán a ser teoremas. Gran parte de las conjeturas se tratan  de propiedades de los números, y se ha verificado, mediante el uso de ordenadores, que se cumplen para números de decenas o hasta centenares de cifras. A pesar de ésto, en matemática se exige una demostración formal para considerarse verdadera una propiedad. La resolución de algunas de estas conjeturas haría muy famoso a su descubridor, e incluso rico, ya que se pagan premios millonarios por ciertos problemas abiertos en matemática. Muchas conjeturas involucran a los números primos, éstas son particularmente difíciles de demostrar cuando se trata de sumas de primos, porque precisamente estos números se definen a partir de la multiplicación.
   Algunas de las conjeturas más famosas que aún no han sido demostradas son:
  • La conjetura de Goldbach: "Todo número par puede expresarse como la suma de dos números primos". Esta forma no es necesariamente única, por ejemplo, al 8 lo puedo expresar como 5 + 3, pero al 14 lo puedo expresar como 11 + 3 o bien como 7 + 7.
  • La hipótesis de Riemann: "La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2". Esta conjetura tiene profundas implicaciones en la distribución de los números primos y en otras cuestiones de teoría de números.

  • En la imagen de este texto puede apreciarse la espiral de Sacks (descubierta en 1994), una espiral de Arquímedes sobre la que se ubican los números primos para analizar patrones en su distribución. Se asemeja mucho a la espiral de Ulam (descubierta en 1963), de forma cuadrada.


         Si la suceción anterior fuese divergente, eso demostraría que hay infinita cantidad de números primos gemelos, pero en 1919 el matemático noruego Viggo Brun demostró su convergencia, hecho que tampoco implica que la cantidad de sumandos sea finita.
  • La conjetura de Collatz: "Se parte de un número natural, si es par se lo divide por 2, si es impar se lo multiplica por 3 y se le suma 1; se repite el proceso hasta llegar al ciclo infinito 4, 2, 1". Por ejemplo, partiendo del número 17 se obtiene la sucesión 17, 52 , 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...
          Utilizando una computadora se probó que la propiedad es cierta para cualquier número natural hasta el 258.

¿Qué estás esperando para demostrarlas?



Bibliografía
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