EL MILAGRO GRIEGO: ERATÓSTENES

 “Eratóstenes no tenía más herramientas que palos, ojos, pies y cabeza y un gran deseo de experimentar, con ellas dedujo la circunferencia de la Tierra con una enorme precisión”

           Carl Sagan

      Nació en el 276 a.C. en Cirene (hoy Libia). Estudió y paso la mayor parte de su vida adulta en Alejandría, donde falleció en el 197 a.C. Se cree que también estudió unos años en Atenas. Fue amigo de Arquímedes, con el cual intercambió correspondencia de sus estudios. Fue matemático, astrónomo, filósofo y crítico de arte. Nunca se casó. En su vejez quedó ciego y decidió cometer suicidio muriendo de hambre.

    Eratóstenes es muy famoso por haber realizado la primera medición correcta de la circunferencia de la Tierra. Esto lo hizo alrededor del año 240 a.C. Eratóstenes sabía que al mediodía del solsticio de verano, se iluminaba el fondo de un pozo que se encontraba en la ciudad de Cirene. Eso quería decir que ese día y hora, el Sol debía encontrarse justo sobre Cirene. Ese mismo día, Eratóstenes midió la longitud de la sombra de una alta torre en la ciudad de Alejandría. Con esta información fue capaz de calcular la circunferencia de la Tierra. No estamos absolutamente seguros de su respuesta exacta porque desconocemos la longitud exacta de las unidades de distancia que usó, pero puede haber estado entre 1 y 16% de error respecto del valor real. De cualquier manera, su respuesta fue bastante buena, ¡y fue la primera persona en llevar a cabo una buena medición del tamaño de un planeta!

      Durante la época antigua, la biblioteca de Alejandría fue la más famosa de todas y Eratóstenes fue la segunda persona en ser su bibliotecario principal. Se dice que un envidioso compañero de la biblioteca lo apodó Beta, porque decía que era, en todo, el segundo mejor del mundo.

     Aparte de determinar el tamaño de la Tierra, Eratóstenes hizo otros importantes descubrimientos e invenciones. Midió la inclinación del eje terrestre con gran precisión, obteniendo él un valor a sólo 7’ de diferencia del verdadero 23º 27’.

    Compiló un catálogo estelar que contenía 675 estrellas, pero lamentablemente se ha perdido. Por sus estudios de astronomía un cráter de la Luna lleva su nombre. Eratóstenes también hizo un mapa del “mundo entero”. Este mapa sólo mostraba partes del mundo que en ese entonces conocían los griegos, pero fue el mejor mapa de su época. También diseñó un sistema de latitud y longitud, así como un calendario que incluía años bisiestos. Inventó la esfera armilar, dispositivo mecánico que los astrónomos usaron durante muchos años para determinar dónde se encontraban las estrellas en el cielo y cómo supuestamente se movían (a medida que la Tierra giraba).

       Como matemático trabajó en geometría y números primos. Es más recordado su aporte en los números primos. Inventó un fácil método de encontrar números primos. Hoy en día, este método matemático se llama La criba de Eratóstenes.

       Si Eratóstenes fuese Beta, ¿quién sería Alfa?

EL MILAGRO GRIEGO: ARQUÍMEDES DE SIRACUSA

“Denme un punto de apoyo y les levantaré el mundo”

Arquímedes

      Nació en el 287 a.C. en Siracusa, Sicilia. Estudió en Alejandría, volviendo enseguida a su patria. Falleció en el 212 a.C. Fue hijo de Fidias, un astrónomo que estaba de alguna manera emparentado con el rey Hierón II[1] de Siracusa, parentesco le permitió gozar de un buen nivel económico por lo que pudo dedicarse sin otras preocupaciones al estudio de la matemática pura. Con Arquímedes la matemática griega llega a su apogeo y fue sin duda uno de las mentes más brillantes de todos los tiempos.

    En su obra demuestra una mayor flexibilidad que torna más maleable el rígido molde euclídeo, confiriéndole mayor riqueza y autonomía, desvinculando casi totalmente a la matemática de la filosofía. Dedicó su genio a la geometría, mecánica, física e ingeniería, utilizando muchas veces varios de estos caminos para obtener un resultado, como el área de un triángulo parabólico utilizando sus estudios sobre palancas y también por medio de rectángulos por defecto y por exceso, con el método de exhaución de Eudoxo. Debido a que halló áreas bajo curvas dos milenios antes de Newton[2] y Leibniz, es considerado un precursor del cálculo infinitesimal. Escribió varias obras, entre otras:

1.      Esfera y Cilindro

2.      Medida del Círculo

3.      Geoides y Esferoides

4.      Espirales

5.      Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad

6.      Cuadratura de la Parábola

7.      El Arenario

8.      Cuerpos Flotantes

9.      Los Lemas

10.    El Método

       En su obra El Arenario, o El Contador de Arena, habla sobre la cantidad de granos de arena que hay en el planeta, y sobre la que habría si el universo estuviera lleno de ella, para esto inventó una notación de números, debido a que el sistema de numeración griego, que utilizaba su alfabeto como símbolos, era muy rudimentario. Basándose en la miríada: 10.000, o bien 10⁴, llama unidad de segunda clase a la miríada de miríadas, una octava es igual a 100.000.000, o sea 10⁸. Luego prosiguió a partir de la octava como unidad, es decir que una unidad de tercera clase es una octava de octavas, es decir 10¹⁶. Considerando el tamaño del universo calculado por Aristarco como el de una esfera cuyo radio es igual a 10.000 veces el radio de la Tierra, Arquímedes calculó que el total de granos de arena que entrarían en él universo es menor que mil miríadas de unidades de octava clase, o sea 10³.10⁴.10⁵⁶ = 10⁶³.

    Demostró que la superficie de una esfera es cuatro veces la de uno de sus círculos máximos. Calculó áreas de zonas esféricas y el volumen de segmentos de una esfera. También demostró que el volumen de una esfera inscripta en un cilindro es igual a 2/3 el de este. Tan orgulloso estaba del teorema que expresó su deseo de que sea grabado en su lápida. Para llegar a esa conclusión, Arquímedes trabajó con la semiesfera, el cono y el cilindro, todos de igual base y altura; cortando estos cuerpos en rebanadas paralelas, demostró que las secciones de los dos primeros sólidos suman la sección correspondiente del tercero:

  Trabajó con valores aproximados por defecto y por exceso, llegando a valores de números irracionales con muy pequeños márgenes de error. Esto es lo que hizo en su obra Medida del círculo, que trata la rectificación de la circunferencia y el área del círculo.

    Demostró que el área de un círculo es equivalente a la de un triángulo que tiene por base la longitud de la circunferencia y por altura el radio:

  

       Arquímedes, en sus obras, admite los siguientes principios:

       1.   La línea recta es la más corta entre 2 puntos.
       2.   De dos líneas cóncavas hacia el mismo lado y que tienen los mismos extremos, es mayor la que queda fuera de la otra.
     Con sus principios realizó el primer trabajo verdaderamente positivo del cálculo de π.

      Trabajando con polígonos inscritos y circunscriptos de hasta 96 lados, Arquímedes logró asignarle a π un valor entre 223/71 (aproximadamente igual a 4,140845) y 22/7 (aproximadamente igual a 3,142857). Él parecía ser consciente de la imposibilidad de asignarle un valor decimal exacto a π.

     En otra de sus obras se refiere a la mecánica, especialmente a los principios de la palanca. Su punto de partida lo constituyen dos principios fundamentales, que bien pueden considerarse como axiomas de la mecánica.

    1.  Si se tiene una palanca en cuyos extremos actúan pesos iguales, la palanca se equilibrará colocando el punto de apoyo en el medio de ella.

     2.  Un peso se puede descomponer en dos mitades actuando a igual distancia del punto medio de la palanca.

     Luego de que Hierón II hiciera construir un enorme barco, no pudo encontrar la manera de llevarlo al mar, debido a su tamaño. Arquímedes, utilizando una máquina que él mismo inventó, logro mover con facilidad la enorme embarcación. Al recibir las felicitaciones del rey por su logro, el geómetra respondió de un modo para nada modesto, con la intención de resaltar la aplicación de la palanca como máquina multiplicadora de fuerza: “Denme un punto de apoyo y les levantaré el mundo”. El dibujo muestra como, en teoría, Arquímedes, con la ayuda de un punto de apoyo y una enorme palanca[3], mueve un poco la Tierra:

   Hay muchas famosas historias en relación con Arquímedes. Quizás la más conocida es la ocurrida en el 217 a.C., cuando Hierón le encargó a un orfebre fabricarle una corona de oro. Al recibir la hermosa obra terminada, Hierón verificó que pesaba lo mismo que el oro que él había enviado para su confección, pero algo le inspiraba desconfianza, tal vez el color de la corona o la sonrisa del orfebre. El rey sospechó que el orfebre haya mezclado el oro con otro metal, probablemente plata, robando parte del oro, y le pidió a Arquímedes que pensara en una forma para saber si la corona estaba hecha de oro puro sin destruirla. Un día Arquímedes se encontraba en el baño (algo poco usual en él) y observó que podía levantar fácilmente sus piernas cuando estaban sumergidas y que al sumergirlas el nivel del agua se elevaba, de pronto se le ocurrió una idea para resolver el problema de la corona. Fue tan grande su entusiasmo que salió desnudo del baño y corrió por las calles de Siracusa gritando su célebre exclamación: “¡Eureka!, ¡Eureka!”, que significa “lo encontré”. Para resolver el misterio Arquímedes sumergió en agua la corona y luego hizo lo mismo con una cantidad de oro de igual peso, al ver que los volúmenes del líquido desalojado en cada caso eran distintos, supo que no tenían la misma densidad, por lo tanto la corona no estaba hecha de oro puro. La picardía del orfebre le costó nada menos que su cabeza. Esta anécdota fue también la que originó el hoy llamado Principio de Arquímedes:

       “Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un impulso igual al peso del volumen de fluido que desaloja”.

       Arquímedes inventó el torno, la rueda dentada y al menos otros cuarenta inventos. Uno de sus inventos más curiosos es el tornillo sinfín, el cual se utilizaba para extraer el agua que había entrado a un barco o a los campos inundados por el Nilo.

      En el campo militar se le debe la invención de catapultas, de garfios movidos por palancas, y otras maquinas, con las cuales defendió Siracusa de los romanos durante tres años. Se dice que empleando espejos cóncavos de gran tamaño logró concentrar los rayos solares sobre la flota romana incendiándola (lo que probablemente sea sólo un mito).

    A diferencia de la mayoría de los sabios de su época, Arquímedes utilizó sus conocimientos teóricos en matemática en muchas aplicaciones prácticas, demostrando el poder de la inteligencia humana puesta al servicio del patriotismo. Finalmente Siracusa cayó en manos romanas en el año 212 a.C.

      Un día Arquímedes, absorto en el estudio de un problema, había trazado para su solución una figura geométrica en la arena cuando un legionario romano que seguramente desconocía al sabio, lo intimó a comparecer ante el cónsul Marcelo. Arquímedes le pidió que esperara que él terminara la demostración que estaba haciendo. Irritado, al no ser inmediatamente obedecido, el sanguinario romano, con un golpe de espada, le robó a la humanidad el maravilloso sabio. Marcelo, quien había ordenado respetar la vida de Arquímedes, no ocultó su pesar al saber de la muerte del gran adversario. Sobre la lápida de la tumba que erigió, hizo grabar una esfera inscripta en un cilindro, cumpliendo con la voluntad del geómetra:

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[1] Hierón II (306-215 a.C.), rey de Siracusa (265-215 a.C.). Se lo recuerda como un dirigente sabio y justo.

[2] Isaac Newton (1642-1727), físico y matemático n. en Inglaterra.

[3] Se ha calculado que un hombre que pese 80 kilos, con una palanca de 20 quintillones de kilómetros, al cabo de 20 billones de años, haría que la Tierra se traslade 25 mm.

EL MILAGRO GRIEGO: ARISTARCO

“Eppur, si muove”(Y sin embargo, se mueve)
Galileo Galilei

   Nació en el 310 a.C. en Samos, falleció en el 230 a.C. Este astrónomo griego fue el primero en formular la teoría de que la Tierra gira sobre su eje y alrededor del Sol (teoría heliocéntrica). Sólo tenemos constancia de su afirmación a partir de los escritos de Arquímedes; ninguna de sus obras sobre este tema ha sobrevivido. Se supone que varios sabios de su época creían que su teoría podía ser verdadera (posiblemente los pitagóricos eran un ejemplo de esto), pero la opinión entonces vigente era que la Tierra estaba inmóvil en el centro del Universo, y todos los planetas, estrellas e incluso el Sol, giran alrededor de ella (teoría geocéntrica), lo que se siguió creyendo durante casi dos milenios, época en que Galileo y Kepler, basándose en teorías copernicanas[1], revolucionaron la astronomía (enfrentándose ellos también a críticas como las que había sufrido Aristarco).

     La teoría geocéntrica se defendió durante mucho tiempo a pesar de que los cálculos que debían realizarse para que los movimientos planetarios coincidan con las observaciones eran muy complejos e inexactos, mientras que la teoría heliocéntrica es mucho más sencilla. Los motivos de su defensa fueron religiosos (la Tierra es el centro del universo y es la causa de desvelo de Dios, si la Tierra es sólo un planeta más en el inmenso universo, la iglesia pierde un argumento importante de su credibilidad) y también científicos (quienes decían que la Tierra se mueve no podían explicar por qué no sentimos su movimiento ni salimos expulsados de ella).

    Aristarco también intentó describir un método de cálculo de las distancias relativas del Sol y de la Luna desde la Tierra. Aunque su método era correcto, sus cálculos no lo fueron debido a la falta de instrumentos precisos. La única de sus obras que se ha conservado es De la magnitud y la distancia del Sol y la Luna.

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[1] Nicolás Copérnico (1473-1543), n. en Polonia, Galileo Galilei (1564-1642), n. en Italia y Johannes Kepler (1571-1630), n. en Alemania.

EL MILAGRO GRIEGO: EUCLIDES

                               “Si Dios alguna vez hizo geometría, con toda seguridad recurrió a Euclides para conocer las reglas”

                                    Edward Kasner y James Newman

    Nació alrededor del 325 a.C., en Alejandría, Egipto. Después de la muerte de Alejandro Magno (en el 323 a.C.) varios generales se repartieron el poder sobre las tierras conocidas. Uno de ellos, Ptolomeo I, estableció una dinastía que habría de reinar en Egipto durante tres siglos. Transformó a su capital, Alejandría, en el centro intelectual más grande de la antigüedad, y uno de los primeros talentos que trabajó allí fue Euclides. Muy poco se sabe sobre su vida privada y se han perdido al menos la mitad de sus obras. Sus cinco obras que sobreviven son: Elementos, Los Datos, La División de Figuras, Los Fenómenos y La Óptica.

   El libro más importante y de mayor influencia fue claramente Elementos. Si bien la mayoría de los conocimientos y demostraciones que aparecen en la obra son de otros autores, la selección, el ordenamiento y sobre todo la sistematización, son propios de Euclides. Este primer sistema axiomático de la historia terminó convirtiendo a la geometría en el modelo de ciencia durante los siguientes dos mil años. Mediante una reducción atomista, partiendo de pequeñas verdades, la obra se construye con un orden y rigor impecables, conteniendo un total de 465 proposiciones (lo que hoy dividiríamos en teoremas y en construcciones), éstas son verdades fundamentadas utilizando la lógica aristotélica, 5 axiomas (o nociones comunes) y 5 postulados. Sus axiomas y postulados son verdades consideradas evidentes cuya demostración no es necesaria, ya que, según él, cualquier individuo tiene la capacidad de darse cuenta que son verdaderas. En 1482, en Venecia, se realizó su primera impresión, siendo uno de los primeros libros en imprimirse y, desde entonces, ha tenido más de mil ediciones. Su importancia científica se mantuvo indiscutida el siglo XIX, y su valor didáctico se mantuvo hasta comienzos del siglo XX, cuando aún algunas escuelas lo utilizaban como texto escolar sin que se le hicieran correcciones de importancia.

    En Elementos se evidencia la influencia platónica de Euclides. En ella no figuran aplicaciones prácticas ni ejemplos numéricos. No obstante tres libros se ocupan de aritmética, en ellos los números aparecen disfrazados de segmentos, y las propiedades numéricas se demuestran operando con esos segmentos. Si bien no menciona ningún instrumento geométrico, se dice que no admite sino construcciones con regla y compás porque aquellas que realiza son a partir de segmentos de rectas y circunferencias. Otro rasgo platónico es la importancia asignada a los poliedros regulares, a los que dedica íntegramente el último libro, como culminando la obra. En sus definiciones se percibe el carácter finito de las rectas y superficies, ya que, si bien los griegos de la época de Euclides eran conscientes de la existencia del infinito, no operaban con él, sino que lo consideraban en el devenir.

   La obra no sólo trata de geometría, sino de otros contenidos matemáticos de su época. Los cuatro primeros libros desarrollan la teoría elemental de la geometría plana y álgebra geométrica. Tratan el estudio de triángulos, ángulos, áreas, álgebra geométrica, circunferencias, figuras inscriptas y circunscriptas. Los libros V y VI contienen la teoría generalizada de la proporción. Los libros VII, VIII y IX tratan sobre aritmética, estudian los números primos, llegando incluso a demostrar que son infinitos, trata sobre progresiones, múltiplos, números pares, impares y sus relaciones. El libro X, denominado por algunos como “La cruz de los matemáticos”, se dedica al estudio de segmentos inconmensurables (los números irracionales). Los últimos tres libros, XI, XII y XIII, se dedican a la geometría del espacio; el último se trata exclusivamente de los sólidos platónicos.

    Más tarde se agregaron dos libros más a la obra. El llamado Libro XIV se debe a Hipsicles de Alejandría, del siglo II a.C., el cual agrega nuevas propiedades de los cuerpos regulares. Mucho más tarde, en el siglo V, se agregó un nuevo volumen de características muy inferiores al anterior; uno de sus autores fue Damascio, el último jefe de La Academia.

   Si bien su obra es en gran medida sobre las construcciones con regla y compás, en ella no se menciona nada acerca de lo que no se puede construir con estas herramientas, como ocurre con los tres problemas clásicos griegos. En el libro IV, por ejemplo, Euclides inscribe en una circunferencia polígonos regulares de 4, 5, 6 y 15 lados, pero no hace alusión (no dice que se pueden ni que no se pueden inscribir) a los polígonos de 7, 9, 11 y 13 lados.

  Algunos creen que Euclides era el jefe de un equipo de matemáticos y entre todos escribieron Elementos; otros dicen que es un seudónimo y que en realidad la obra fue escrita por varios sabios (tal vez uno fue Platón o Teeteto), y hasta podría considerarse una obra en gran medida filosófica, en el sentido de que enseña a demostrar como herramienta para la dialéctica, usando a la matemática por ser la ciencia más fecunda para esta función.

    Según la leyenda, el rey Ptolomeo le preguntó un día a Euclides si no podía hacer que sus demostraciones fueran un poco más fáciles de seguir, a lo que él respondió:

       “En geometría no existe ningún camino especial para los reyes”.

EL MILAGRO GRIEGO: ARISTÓTELES.

        “Piensa como piensan los sabios, mas habla como habla la gente sencilla”

                                                                      Aristóteles

     Nació en el 384 a.C. en Estagira, Macedonia. Falleció en el 322 a.C. en Calcis. Hijo de Nicómaco, un médico. A los 17 años viajó a Atenas para asistir a la Academia de Platón. Al fallecer éste, viajó a Assos, ciudad de Asia Menor en la que gobernaba su amigo Hermias, al que sirvió como asesor, casándose además con su sobrina e hija adoptiva, Pitia. Tras ser ejecutado Hermias por los persas en el 345 a.C., el estagirita se trasladó a Pella, capital de Macedonia, donde fue tutor del hijo menor del rey Filipo II, Alejandro, quien más tarde sería conocido como Alejandro Magno. En el 335 a.C., al acceder éste al trono volvió a Atenas y fundó su propia escuela: El Liceo, donde se alejó de las doctrinas de Platón. Resumió todo el saber de su época pero brilló especialmente en las ciencias naturales descriptivas. Fue autor de la primera clasificación de los animales, padre de la anatomía comparada y maestro de otros científicos, como el botánico Teofrasto, su sucesor en el Liceo. Rechazó la teoría atómica de Demócrito y sostuvo que la materia se origina en la mezcla de cuatro propiedades fundamentales: caliente, frío, húmedo y seco, que se combinan entre sí para dar lugar a los cuatro elementos o esencias: tierra, agua, aire y fuego, a los que añadió la quinta esencia o éter, que formaría los cuerpos celestes. Demostró por varios métodos la esfericidad de la Tierra y sostuvo que ésta está situada en el centro del universo. Fue el primero en clasificar las ciencias, que dividió en teóricas (matemáticas, física y metafísica), prácticas (ética, política y economía) y poéticas (poesía, retórica, etc.). En esta clasificación no se incluye la lógica, desarrollada por él, utilizando los principios de Parménides, pues es el instrumento para el estudio correcto de las otras. Inventó el silogismo, instrumento fundamental del pensamiento occidental. Escribió libros de divulgación, de los que sólo se conservan fragmentos, y otros de notas, para el círculo de sus iniciados, de los que quedan 47.

  Siguiendo la filosofía del venerable y temible Parménides, Aristóteles estructuró al ser en 10 categorías. Por un lado está la Substancia (el ser en sí) y por el otro los accidentes: Cantidad, Cualidad, Relción, Lugar, Tiempo, Posición, Posesión, Acción y Pasión.

    En relación con la vieja discusión del cambio, desde épocas de Heráclito y Parménides, Aristóteles entiende al cambio y al movimiento como el paso de lo que está en potencia a estar en acto.

  Según Aristóteles, la felicidad no puede encontrarse en los placeres porque nos hace depender de ellos, tampoco en los honores, porque éstos no dependen de nosotros, sino de los demás. En cuanto a quienes colocan la felicidad en el dinero, Aristóteles responde que el dinero no es el bien que buscamos, pues sólo es útil para otras cosas, es un medio, no un fin. Así llegó a la conclusión de que la felicidad sólo puede encontrarse en la virtud. Virtud significa excelencia, la perfección de la función propia de algo o alguien. La función del pianista reside en el arte de tocar el piano, y será virtuoso en el arte de tocarlo en la medida en que desempeñe tal función de manera excelente. Debemos preguntarnos en qué consiste la función propia del hombre como tal para poder determinar en qué estriba su virtud. El vivir es común a las plantas, y se busca lo propio del hombre. La vida sensitiva es común a los animales. Queda por último la razón. La virtud del hombre, por lo tanto, consistirá en la perfección en el uso de su función propia, la razón, en el desarrollo completo de su alma (o vida) racional. Es entonces el filósofo el que más o mejor se basta a sí mismo, y la vida de razón, la vida contemplativa, es la más feliz, y la sabiduría la virtud más alta. Pero Aristóteles tenía perfecta conciencia de que ningún hombre puede vivir una vida pura y exclusivamente contemplativa. Debido a las necesidades físicas, una vida puramente teorética es superior a la humana y sólo un ideal para el hombre. Dicho por Aristóteles:

   “No hay que dar oídos a quienes nos aconsejan, con pretexto de que somos hombres y mortales, que pensemos en las cosas humanas y mortales, sino que en cuanto nos sea posible hemos de inmortalizarnos y hacer todo lo que en nosotros esté para vivir según lo mejor que hay en nosotros”.

Otras conocidas frases de él son:

“La inteligencia consiste no sólo en el conocimiento, sino también en la destreza de aplicar los conocimientos en la práctica”

“El sabio no dice todo lo que piensa, pero siempre piensa todo lo que dice”

“No se puede ser y no ser al mismo tiempo y bajo el mismo aspecto”

“El ignorante afirma, el sabio duda y reflexiona”

“Lo que con mucho trabajo se adquiere, más se ama”.

EL MILAGRO GRIEGO: EUDOXO DE CNIDO

                        “El volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del volumen de un prisma de misma base y altura”

                                         Teorema demostrado por Eudoxo

      Nació en Cnido (hoy Turquía), aproximadamente en el 390 a.C. y falleció alrededor del 337 a.C. Fue filósofo, astrónomo, matemático y médico. Fue alumno de Platón y de Arquitas de Tarento. Ninguna de sus obras ha llegado a nuestros días, sólo contamos con fuentes secundarias. Se cree que nació en una familia de médicos, ya que comenzó sus estudios de medicina de muy joven, antes de dedicarse a las otras ciencias.

   Fundó en Cícico (hoy Turquía) una escuela de filosofía, matemática y astronomía. De nuevo en Atenas, el año 368 a.C., volvió a tomar contacto con Platón y fue uno de los miembros más brillantes de la Academia. Hay diversas posturas respecto a su relación con Platón, algunos dicen que Platón tenía celos de su popularidad y desconfiaba de las ideas matemáticas de Eudoxo; otras fuentes afirman que la relación fue cordial y Eudoxo siguió las orientaciones de Platón. Alrededor del 350 a.C. retornó a Cnido, donde acababa de instaurarse un régimen democrático y se le encargó redactar la nueva constitución.

     Fue el primero en plantear un modelo planetario basado en un modelo matemático, por lo que se lo considera el padre de la astronomía matemática. Su modelo cosmológico afirmaba que la Tierra es el centro del universo y el resto de cuerpos celestes la rodean fijados a un total de veintisiete esferas concéntricas reunidas en siete grupos. En este modelo se basó Aristóteles para desarrollar su propio modelo. Eudoxo descubrió que el año solar tiene 365 días y 6 horas, pero tuvieron que pasar varios siglos para que se considerara ese cuarto de día en el calendario del Egipto de la época de Eudoxo, ya que los egipcios ultraconservadores no aceptaban el cambio.

    Su trabajo sobre la teoría de la proporción denota una amplia comprensión de los números y permite el tratamiento de las cantidades continuas, no únicamente de los números enteros o números racionales. Eudoxo trató a los números como segmentos, siendo el primero en geometrizar la aritmética. Su obra fue resucitada por el matemático italiano Tartaglia[1] y por otros estudiosos del siglo XVI y se convirtió en la base de muchas obras científicas durante un siglo, hasta que fue sustituida por los métodos algebraicos de Descartes[2].

    Elaboró el llamado método de exhaución, antecedente del cálculo integral, para calcular áreas (y volúmenes). El método consiste en hallar el área aproximada de una figura dividiéndola en figuras más pequeñas de área conocida. Años después, este método sería utilizado magistralmente por Arquímedes.

      Cuando calculamos áreas bajo curvas a partir de rectángulos u otras figuras, por defecto, estamos utilizando la idea de Eudoxo:

      Utilizando su método demostró que el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma de misma base y altura, y que el volumen de un cono es la tercera parte del de un cilindro de misma base y altura, teoremas ya intuidos por Demócrito[3].

      Estas relaciones se mantienen para cualquier base, es decir, para pirámides y prismas de bases de cualquier cantidad de lados, así como para conos y cilindros de bases elípticas.

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[1] Niccolò Fontana (1499-1557). Creó un método para resolver ecuaciones de tercer grado. Realizó estudios de aplicación de la matemática a la artillería calculando las trayectorias de los proyectiles. Produjo las primeras traducciones al italiano de textos de Arquímedes y de Euclides.

[2] René Descartes (1596-1650) fue un filósofo, matemático y físico francés. Es considerado el padre de la filosofía moderna. Desarrolló, junto con otros, la geometría analítica. Fue uno de los hombres más destacados de la revolución científica.

[3] Demócrito de Abdera (460-370 a.C.) fue un filósofo y matemático griego. Desarrolló, junto con su maestro Leucipo, la teoría atomista del universo, la cual explicó mediante razonamientos lógicos, negando a los dioses y considerando a la materia como autocreada. Su filosofía (materialista) era contraria a la de Platón (idealista).

EL MILAGRO GRIEGO: PLATÓN

                                               “Dios geometriza”

Platón

Nació en el 427 a.C. en Atenas, Grecia. Falleció en el 348 a.C. en Atenas. Estudió filosofía con Sócrates y luego matemática con Arquitas de Tarento y con Teodoro de Cirene. Antes de conocer a Sócrates había sido influenciado por Crátilo, un discípulo de Heráclito. Platón viajó por Egipto, Sicilia e Italia, y a su regreso, en el 385 a.C., fundó en Atenas su famosa escuela filosófica: La Academia, la cual perduró hasta que el emperador Justiniano la cerró en el siglo VI. Sin lugar a dudas Platón es mejor conocido por su obra filosófica, sin embargo su influencia en la matemática fue muy importante.

Dos ejemplos de sus más famosas ideas filosóficas son:

1) La división del mundo en dos: El mundo sensible (en el que vivimos), el cual es imperfecto, y el mundo de las ideas, el cual es perfecto y del cual el sensible es una copia.

2) La alegoría de la caverna: explica que el hombre no conoce la verdad tal cual es por estar dentro de una caverna, donde sólo ve sombras de lo que ocurre fuera de ella, y que al salir de esta primero queda cegado por la luz del Sol (verdad absoluta) y al volver a la caverna a explicar lo que vio, los demás no lo comprenden.

Creía que no es posible estudiar filosofía sin el conocimiento previo de las matemáticas, motivo por el cual hizo colocar a la entrada de La Academia su célebre y significativa frase: “Nadie puede pasar este umbral sin saber geometría”. Ésta y otras proposiciones como “los números gobiernan al mundo” nos hacen ver que estaba directamente influenciado por las teorías pitagóricas.

Se deben a él algunas reglas metodológicas, dogmatizando en la geometría el uso exclusivo de la regla y el compás, lo que se aceptó en tiempos posteriores y aún en nuestros días. Pensaba Platón que los geómetras se rebajaban cuando usaban otros instrumentos que no fueran los mencionados. Para poder llegar hasta la desnudez total de la belleza de la geometría, los griegos debieron concebir figuras perfectas e ideales. Por ejemplo: la recta ideal consiste en longitud pura y nada más, sin espesor ni anchura ni otra cosa que no fuera longitud, dos rectas ideales, se cortan en un punto ideal y perfecto sin absolutamente ninguna dimensión y el cual no representa nada más que una posición. Para explicar las propiedades de las figuras, el geómetra realiza dibujos, los cuales, por muy prolijo que éste sea, no dejan de ser aproximaciones groseras, toscas y desprolijas respecto al ideal que se tiene sobre las figuras que representan. El geómetra dibuja sobre cera, barro, sobre un pizarrón o un papel, empleando una varilla puntiaguda, una tiza, un lápiz o una lapicera. Además, para demostrar algunas de las propiedades de las figuras geométricas suele ser necesario el empleo de otras líneas, además de las que tiene la figura. Debido a la imperfección de cualquier herramienta que se utilice y de la imperfección del ser humano, es natural pensar que cuantos menos instrumentos se utilicen para dibujar y cuanto más simples sean éstos, tanto más cerca se estará del ideal. Finalmente las herramientas se redujeron a un elegante mínimo de dos. Una es la regla destinada al trazado de líneas rectas (se trata de una regla sin graduar, es decir, sin marcas que indiquen centímetros o pulgadas). La segunda herramienta es el compás que, si bien se lo emplea para trazar circunferencias, también sirve para marcar segmentos iguales, trazar arcos que al cortarse determinen un punto que equidista de otros dos, etcétera.

Durante mucho tiempo los griegos creyeron que utilizando únicamente la regla y el compás es posible representar cualquier número sobre la recta numérica, construir un polígono regular de cualquier número de lados, etc. Por supuesto que en tiempos de Platón ya se sabía que utilizando herramientas más complejas ciertas construcciones se podían simplificar y se podían construir otras que hasta entonces no se habían podido lograr empleando sólo regla y compás, pero para los geómetras griegos esto era algo así como mirar la respuesta antes de resolver un problema o pescar en una pecera, se obtendrían los resultados pero no de una forma muy caballeresca. Ejemplos de construcciones que se intentaron realizar con estas dos herramientas básicas son los tres llamados problemas clásicos griegos: la duplicación del cubo[1] (construir un cubo del doble de volumen de un cubo dado), la trisección del ángulo (dividir un ángulo en tres ángulos iguales) y la cuadratura del círculo (hallar un cuadrado de igual área que un círculo dado). Para saber el por qué de la imposibilidad de algunas construcciones hicieron falta muchos siglos.

Se debe también a este filósofo las directivas que debían darse en la enseñanza de la geometría; es decir, la organización de la exposición geométrica desde el punto de vista lógico, como debe enseñarse y qué camino debe seguirse, así como una mayor claridad de las definiciones, axiomas y postulados. Según él, el estudio de la Geometría debía realizarse en el siguiente orden:

1.      Definiciones

2.      Axiomas

3.      Postulados

4.      Teoremas

A esta directiva de Platón se adaptaron los matemáticos posteriores a él, principalmente Euclides.

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[1] La leyenda dice que, durante una epidemia, el oráculo de Delfos anunció que ésta cesaría si se duplicaba en tamaño un altar cúbico dedicado a Apolo. Primero se cometió el error de duplicar la arista del cubo, con lo cual el volumen resultó ocho veces mayor. Por supuesto, el oráculo no quedó satisfecho y los matemáticos griegos luego comprendieron que la solución correcta implicaba la multiplicación de la arista por la raíz cúbica de 2. Finalmente lograron éxito empleando otros instrumentos y curvas de grado superior. El oráculo fue aplacado y la epidemia cesó. Podrás creer o no en la leyenda, pero no podrás duplicar el cubo con regla y compás.

EL MILAGRO GRIEGO: SÓCRATES

“El aprendizaje comienza por el asombro”

                                                                                                                   Sócrates

       Nació en el 470 a.C. en Atenas, Grecia. Falleció en el 399 a.C. Su padre fue un escultor llamado Sofronisco con el cual trabajó. Fue formado en literatura, música y gimnasia. En la guerra del Peloponeso contra Esparta fue hoplita (soldado griego de infantería). Tuvo como maestros a Anaxágoras[1], Damón y Arquelao. Se casó dos veces y tuvo tres hijos. Es considerado el padre de la filosofía en cuanto a considerar a la ética y a la política como el centro de sus reflexiones principales. Se le atribuye el argumento inductivo y la definición general, principios de la ciencia. Evitó la política porque creía que dedicándose a la filosofía serviría mejor a su país.

       Su famosa frase "Sólo sé que no sé nada" indica que el sabio toma conciencia de todo lo que le falta aprender porque cada nuevo conocimiento le genera más preguntas.

       Pasó la mayor parte de su vida en los mercados y plazas públicas de Atenas manteniendo discusiones respondiendo mediante preguntas, un método denominado mayéutica. No escribió ningún libro ni tampoco fundó una escuela regular de filosofía. Todo lo que se sabe con certeza sobre él se debe a dos de sus discípulos más notables: Platón y el historiador Jenofonte. La base de sus enseñanzas y lo que inculcó, fue la creencia en una comprensión objetiva de los conceptos de justicia, amor y virtud y el conocimiento de uno mismo. Creía que todo vicio es resultado de la ignorancia y que ninguna persona desea el mal; a su vez, la virtud es conocimiento y aquellos que conocen el bien actuarán de manera justa.

       Sufrió la desconfianza de muchos a los que les disgustaba su actitud hacia el Estado ateniense y la religión establecida. Fue condenado a muerte, acusado de despreciar a los dioses del Estado, de introducir nuevas deidades, y de corromper la moral de la juventud, alejándola de los principios de la democracia. Sus amigos planearon su huida pero acató la sentencia bebiendo una copa de cicuta (planta venenosa).

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[1] (499-428 a.C.) Matemático y filósofo griego n. en Clazómenes (hoy Turquía). Introdujo la filosofía en Atenas. En el 450 a.C. fue encarcelado por afirmar que el Sol no es una deidad y que la Luna refleja la luz solar.