Más allá de lo creíble
Una
paradoja es una idea extraña, opuesta a lo que el sentido común considera como verdadero
o falso. Puede tratarse de una situación hipotética que envuelve una
contradicción, o incluso una simple frase a la cual no se le puede asignar un
valor de verdad. El término paradoja proviene del griego paradoxus, formado por la preposición para, que significa “más allá” y la raíz doxon, que significa
“opinión” o “creencia”. Es decir, para los antiguos griegos, una paradoja es
algo que está más allá de lo creíble.
Es
imprescindible un correcto uso de las capacidades de abstracción de la mente
para lograr una compresión de una paradoja. El objetivo de su estudio no es
necesariamente que el alumno aporte ideas imaginativas y fabulosas para su
resolución, sino su correcta interpretación y análisis.
Algunas
paradojas, como por ejemplo las conocidas paradojas de Zenón, han hecho que
muchos pensadores realizaran estudios totalmente originales para su resolución,
por lo que terminaron siendo el incentivo de grandes descubrimientos y un
avance de la ciencia.
Algo
muy importante del análisis de la mayoría de las paradojas es la relación con
el infinito, ya que, como veremos en muchos ejemplos, aparecen regresiones
infinitas en sus proposiciones, ya que la veracidad de una termina implicando
su propia falsedad y su falsedad implica su veracidad.
Se
pueden clasificar a las paradojas según su naturaleza, o según la causa de su
contradicción. Diferentes autores las clasifican según diferentes categorías e
incluso lo que es una paradoja para algunos, no lo es para otros. Una manera de
clasificarlas es en: antinomias, antinomias de definición, dibujos paradójicos,
paradojas verídicas, paradojas condicionales y paradojas específicas de un área
de conocimiento. Esta es la que seguiremos en este texto, aunque es sólo una
manera arbitraria de diferenciarlas y de hecho algunos de los ejemplos que
veremos podrían ubicarse en más de una categoría a la vez.
A
continuación veremos una selección de las paradojas más famosas e importantes de
la historia de la fundamentación de la matemática. Algunas pueden analizarse en
unos pocos renglones, otras tomarían hojas o incluso libros enteros, y hay
paradojas que continúan desconcertando hasta a los más brillantes,
presentándonos problemas sin respuesta aparente. Sucede que la búsqueda de la
verdad también es paradójica, precisamente la paradoja del conocimiento dice:
“El hombre busca respuestas y encuentra preguntas”
Antinomias
Son frases autoalusivas o
autorreferentes, es decir, proposiciones que de manera directa o indirecta se
mencionan a sí mismas o involucran al sujeto que las está enunciando de un modo
tal que no se las puede considerar verdaderas ni falsas, o bien se puede decir
que son verdaderas y falsas al mismo tiempo.
Paradoja del mentiroso:
“Esta afirmación es falsa”. Si la proposición es verdadera, entonces tiene que
ser falsa por lo que ella misma afirma. Si es falsa, la frase está diciendo la
verdad, por lo que dejaría de ser falsa. Es una de las paradojas más conocidas,
además de ser probablemente la más antigua. Tiene muchas otras versiones además
de la ya analizada, una de ellas es la de un diálogo en donde Platón dice: “La
próxima afirmación de Sócrates será falsa” y luego Sócrates dice: “Platón ha
dicho la verdad”. Hay numerosas frases muy similares, como:
“Nunca digas nunca.”
“La única regla de oro es que no
existen reglas de oro.”
“Ser supersticioso trae mala
suerte.”
“Si me equivoco, el mundo se
acabará en diez días.” (paradoja de Curry)
“¿Si sólo pudieras responder con sí o no a esta pregunta y respondieras la verdad, tu respuesta a esta pregunta sería no?”
La
siguiente es una imagen de las dos caras de una curiosa tarjeta:
La famosa paradoja de Epiménides
(n. en Creta en el siglo VI a.C.) “Todos los cretenses son mentirosos” es otra
conocida versión de la paradoja del mentiroso. Quizás esta haya sido la
paradoja original. Analizando bien esta versión en particular se ve que en
realidad esta frase no es exactamente una paradoja, ya que tiene al menos una
interpretación no paradójica: Supongamos que existe al menos UN cretense que
diga la verdad, en este caso Epiménides hubiese mentido, convirtiéndolo a él en
un mentiroso y a su frase en una proposición falsa, sin generar contradicción alguna.
La lista de versiones de esta
paradoja es interminable…
Paradoja
de Berry: “El menor entero positivo que no se
puede definir con menos de quince palabras”. Un número cualquiera puede
expresarse en palabras, el número 14 puede expresarse como “catorce” (una
palabra), el número 32 puede expresarse como “treinta y dos” (tres palabras),
el número 8192 puede expresarse como “ocho mil ciento noventa y dos” (seis
palabras) o como “dos elevado a la trece” (cinco palabras). Algunos números naturales
de mayor cantidad de cifras requieren de muchas más palabras para expresarse y,
aunque utilicemos todo nuestro ingenio para expresarlo usando menos palabras a
través de una descripción como en el ejemplo del número 8192, hay casos en los
que es imposible utilizar menos de quince palabras. De todos los números que
requieren quince o más palabras para ser expresados, existe uno que es el menor
de todos ellos, llamémoslo el número α. El número α es entonces “el menor entero
positivo que no se puede definir con menos de quince palabras”, pero esta frase
que lo describe tiene catorce.
Paradoja de
Grelling-Nelson: Estos dos matemáticos inventaron
dos palabras para crear su paradoja: autológica
y heterológica. Una palabra es autológica
si se describe a sí misma y es heterológica si no se describe a sí misma. La
palabra esdrújula es autológica,
porque esta acentuada en la antepenúltima sílaba. La palabra grave también es autológica, porque está
acentuada en la anteúltima sílaba. En cambio, la palabra aguda es heterológica, ya que no es una palabra aguda por no estar
acentuada en la última sílaba, es una palabra grave. Monosilábica es otro ejemplo de palabra heterológica. Las palabras singular y antigua son autológicas mientras que plural y moderna son
heterológicas. La palabra palíndromo,
que significa palabra o grupo de palabras que se lee igual hacia delante que
hacia atrás, es heterológica. Todo marchaba bien hasta que Grelling y Nelson se
hicieron la siguiente pregunta: “¿La palabra heterológica, es heterológica?”.
Paradoja de Russell:
Esta paradoja fue inventada por el filósofo, matemático y escritor galés
Bertrand Russell (1872-1970). Los conjuntos tienen elementos y existen
conjuntos de conjuntos, es decir, conjuntos cuyos elementos son, a su vez,
otros conjuntos, pero ¿qué ocurre con “El conjunto de todos los conjuntos que
no se contienen a sí mismos”? ¿debe o no incluirse a sí mismo?
Podemos pensar, como ejemplo, en un
catálogo, el cual contiene fotos y descripciones de un tema en particular, existen
catálogos de autos, de sillas, de ropa, de libros, etc. Se puede crear,
también, un catálogo de catálogos, el cual es una lista de los diferentes
catálogos, es decir que en él encontraremos descripto al catálogo de autos, al
catálogo de sillas, etc. Si deseo crear un catálogo de todos los catálogos que
existen, debería contenerse a sí mismo, porque es, en definitiva, un catálogo.
¿Qué ocurría si deseara hacer un catálogo de todos los catálogos que no se
contienen a sí mismos? Este catálogo deberá incluir a todos los catálogos de
autos, a los de sillas, pero ¿se debe incluir a sí mismo? Si se describe, no
debería estar, porque se trataría de un catálogo que se contiene a sí mismo, si
no lo hace, sería entonces un catálogo que no se contiene a sí mismo y debería
incluirse.
Mientras
que los hombres se clasifican en dos categorías “Los que se afeitan solos”
y “Los que no se afeitan solos”, al
barbero se lo define a partir de todos los hombres del pueblo, entonces, más
que preguntarnos si el barbero se afeita, deberíamos preguntarnos qué clase de
hombre es el barbero, o incluso… ¿Es un hombre?
Metalenguajes
El lógico, matemático y filósofo polaco Alfred
Tarski (1902-1983) introdujo la idea de lenguaje objeto y metalenguaje. En el
peldaño más bajo se encuentran los enunciados relativos a objetos, tales como “La
Tierra gira alrededor del Sol”. Para hablar de la verdad o falsedad de esta
frase es necesario crear un lenguaje en un nivel inmediatamente superior al
anterior, el cual pasa a ser objeto de estudio de este metalenguaje. El
metalenguaje engloba la totalidad del lenguaje objeto pero le permite referirse
a los valores de verdad de los enunciados de este último. Un metalenguaje puede
ser a la vez objeto de estudio de otro metalenguaje de orden superior y así
sucesivamente, no habiendo límites en esta jerarquía de lenguajes.
El problema en las antinomias está en el hecho de
que una misma frase encierra dos niveles diferentes de lenguaje, es decir que
habla de sí misma. También puede darse la paradoja en dos o más frases que
están en un mismo nivel de lenguaje y hacen referencia una de las otras
simultáneamente.
El siguiente ejemplo es uno de los favoritos de
Tarski:
La nieve
es blanca.
La
frase “La nieve es blanca” es verdadera.
Las dos proposiciones de este conjunto son
verdaderas. La primera pertenece a un lenguaje objeto de la segunda. En este
ejemplo no aparece ninguna paradoja.
En el siguiente ejemplo, donde no son ambas
verdaderas, tampoco se observa una paradoja:
Dos
más dos es igual a cinco.
La
frase anterior tiene seis palabras.
En ambos ejemplos la segunda frase está en un
nivel de lenguaje superior al de la primera frase, ya que habla de ésta. Por
estar en distintos niveles, es imposible que aparezca una paradoja. La paradoja
se puede dar únicamente si las frases están en un mismo nivel de lenguaje.
Para hablar de veracidad o falsedad de enunciados
de un metalenguaje es necesario ascender hasta el siguiente peldaño de la
escala, el cual tendrá como objeto de estudio todos los niveles de lenguaje
inferiores a él.
Existen metalenguajes para las ciencias. La Metamatemática es un metalenguaje. Mientras que la matemática estudia las propiedades de los
números, las figuras geométricas, las funciones, las estructuras algebraicas,
etc., el objeto de estudio de la metamatemática es la matemática. Cuando se
hacen preguntas como ¿qué es la matemática?, ¿qué estudia la matemática? o ¿son
consistentes las geometrías no euclidianas?, no se está haciendo matemática,
sino metamatemática.
Veamos un ejemplo de enunciados de distintos
niveles correspondientes a la matemática:
A. La suma de los ángulos interiores de un triángulo
es igual a 180°.
B. El enunciado A es verdadero.
C. El enunciado B es verdadero.
D. El enunciado C es verdadero.
El lenguaje A enuncia un teorema relativo a objetos geométricos (es correcto si se refiere a triángulos euclidianos). Un texto de geometría que contiene demostraciones de teoremas está escrito en un metalenguaje B. Los libros que tratan de teoría de demostraciones están escritos en metalenguaje de nivel C. Raras veces es necesario ir más allá del nivel C.
El matemático, lógico y filósofo alemán Gottlob Frege
(1848-1925) escribió la obra Grundgesetze der Arithmetik (Leyes básicas
de la aritmética) en la cual intentó llevar a cabo el proyecto logicista de
fundamentar toda la aritmética en la lógica y en la teoría de conjuntos. Russell
encontró un error en la consistencia de su sistema en 1902, precisamente la que
más tarde se llamó Paradoja de Russell. Para salvar paradojas como la que él
mismo inventó, Russell creó la teoría de
tipos. Según esta teoría, se crea una jerarquía de tipos y
luego se asigna cada entidad matemática a un tipo. Cada objeto es entonces creado
por objetos de una categoría más baja, por lo que se evitan los ciclos
infinitos y, por lo tanto, las paradojas.
Respecto a la palabra esdrújula, considerando los niveles de lenguaje, no es en sí esdrújula ya que en realidad
no es una palabra, sino una metapalabra, por haber sido creada para analizar a las palabras, por lo tanto se encuentra
en otro nivel de lenguaje. De manera similar, es imposible que podamos
contestar si el barbero se afeita o lo afeitan, ya que el barbero no es un
hombre común, él se define a partir de los hombres, lo que lo convierte en un metahombre, un ser sobre el cual podemos
hacernos preguntas pero no podemos responder dichas preguntas. La paradoja del
barbero nos enseña, entre otras cosas, que hay cuestiones sobre las cuales no
podemos encontrar respuestas por estar muy por encima de nuestra condición
humana.
Dibujos
paradójicos
Los
dibujos paradójicos pueden ser considerados como un caso especial de ilusión
óptica, son aquellos en los que aparece una situación imposible de replicarse
en la vida real. El artista más prolífico en esta cuestión ha sido el holandés Maurits
Cornelis Escher (1898-1972), quien dibujó, además de las manos de la carátula
de este texto, los dos primeros dibujos siguientes, la escalera que siempre
sube (o siembre baja) y el cubo imposible. Debajo están el triángulo de Penrose
(1934), del sueco Oscar Reustersvärd y la obra La reproducción prohibida (1937)
del belga René Magritte. En esta última imagen lo único que está correctamente
reflejado en el espejo es un libro, el cual se cree que pudo servir como
inspiración de la obra, se trata de una novela escrita por Edgar Allan Poe en
1837, exactamente 100 años antes de que Magritte realizara este dibujo
imposible.
Antinomias de definición
Estas paradojas se basan en definiciones ambiguas, sirviéndose de los
significados de ciertas palabras, buscando marcar contrastes o contradicciones.
Paradoja
de sorites o del montón: “¿En
qué momento un montón de granos de arena deja de serlo cuando se van quitando
granos?”. En griego, sorites significa “pila” o “montón”. Se sabe que dos granos de arena no son un montón,
mientras que un millón de granos sí lo son. Si n granos de arena no forman un montón, tampoco lo serán
granos. Por otro lado, si n granos son un montón, también lo serán n + 1 granos. Lo que sucede con esta paradoja, es
que cualquier cantidad de granos de arena es y no es, simultáneamente, un
montón.
En la actualidad, en honor
a esta paradoja, se llama sorites a una serie de proposiciones encadenadas de modo que el predicado de cada una
pasa a ser sujeto de la siguiente, hasta que en la conclusión se une el sujeto
de la primera con el predicado de la última.
Otra versión es:
“¿Describirías a un hombre con un pelo en la cabeza como calvo?, ¿y si tiene
dos?, ¿y si tiene tres?...”
Este tipo de paradojas hace
uso de la vaguedad del concepto de móntón, este término puede representar cantidades distintas dependiendo del contexto e
incluso lo que para una persona puede ser un montón, no lo es para otra. Muchos
filósofos opinan que el mundo es completamente preciso y que la vaguedad es un
fenómeno puramente lingüístico.
Las lógicas difusas dan
solución a este tipo de paradojas; en ellas, entre lo indudablemente verdadero
y lo indudablemente falso, hay una amplia gama de valores de verdad. Por
ejemplo, 71 granos de arena están un poco más cerca de ser un montón que 70
granos, aunque la diferencia sea inadvertida a simple vista para nosotros. A
medida que se van sacando granos, la cantidad total deja de ser un montón de
manera casi imperceptible; lo mismo ocurre si se van agregando granos, no hay
un punto límite en el que todos estaremos de acuerdo en donde la cantidad se
convierte en un montón.
El
barco de Teseo: El legendario héroe griego
tiene un barco desde hace muchos años. A medida que se va rompiendo lo va reparando,
cambiando sus viejas piezas por otras iguales nuevas. Si actualmente no le
queda ni una sola pieza original, ¿sigue siendo el barco de Teseo?
Hay muchas paradojas
similares a la del barco de Teseo, una conocida y divertida versión es La vieja hacha del abuelo, que habla de un hacha cuya hoja fue reemplazada ya tres veces y cuyo mango fue
reemplazado cuatro veces.
Otra antinomia de
definición es la llamada Los calcetines de Locke, ésta se trata del calcetín preferido de su autor, el filósofo
John Locke, quien reflexiona si éste aún era el mismo luego de que se aplicara
un parche en él. Si así era, ¿seguiría siendo el mismo después de que se le
aplicara un segundo parche?, ¿podría, en efecto, seguir siendo el mismo
calcetín varios años después, incluso después de que todo el material del
calcetín fuera reemplazado por parches?
Es similar la llamada El río de Heráclito: "Ningún hombre puede cruzar dos veces el mismo río, pues la segunda vez el río no será el mismo, como tampoco lo será el hombre", frase paradójica
que lleva el nombre del gran sabio de Efeso (por más que renegara de sus
conciudadanos, esa fue su ciudad de origen). Heráclito (535-475 a.C.) sostenía
que el continuo devenir hace que sea imposible realizar dos veces una misma
tarea y lo plasmó en esta famosa antinomia de definición. El Oscuro fue malinterpretado por muchos de sus contemporáneos, sin
embargo últimamente sus ideas han sido revividas por filósofos como Friedrich
Nietzsche y Martin Heidegger, científicos como Edward Lorenz y René Thom, y
escritores como Jorge Luis Borges y Julio Cortázar.
El venerable y temible Parménides (530-450 a.C. aproximadamente)
decía que debajo de las subjetividades que nos brindan los sentidos se esconde
la esencia de las cosas. Siglos después, Aristóteles (384-322 a.C.) desarrolló
la estructuración del ser en Substancia (del ser en sí) y sus nueve accidentes: Cantidad, Cualidad, Relación, Lugar, Tiempo, Posición, Posesión, Acción y Pasión. Esta estructura hace
frente a este tipo de paradojas diciendo que un objeto tiene varias
características que lo hacen ser lo que es, y que los cambios que sufre a lo
largo del tiempo no lo hacen perder su esencia. El barco de Teseo, por ejemplo,
cumple con un conjunto de cualidades que lo hacen ser “el barco de Teseo”: es
un barco, su dueño es Teseo, suele navegar por los mismos lugares, tiene una
medida y un peso determinado, está formado por ciertos materiales, fue
construido por un cierto equipo de carpinteros utilizando madera de un cierto
bosque y con unas ciertas herramientas… Considerando que sólo ha cambiado el
material del barco, éste, según el eléata y el estagirita, sigue siendo el barco de Teseo. La mayoría de
nosotros pensamos lo mismo, es una simple cuestión de sentido común, si bien
las cosas cambian, hay ciertas cuestiones que permanecen, por lo que seguimos
hablando de lo mismo a pesar del paso del tiempo y el devenir, pero… ¿qué
ocurriría si con las piezas que se le fueron sacando a la embarcación del héroe
se hubiese ido construyendo un segundo barco? En el momento en que ambos estén
listos para zarpar, ¿cuál de los dos sería el barco de Teseo?
Paradojas verídicas
Son resultados que tal vez
aparentan ser absurdos por contradecir el sentido común de intuición, pero cuya
veracidad es demostrable. A esta categoría pertenecen muchas paradojas
matemáticas. La rama de la matemática en la que aparecen más situaciones con
resultados no intuitivos es, para muchos, el cálculo de probabilidades.
Paradoja de la banda esférica: Supongamos que una banda de acero abraza fuertemente al planeta Tierra (considerémoslo
una esfera perfecta de diámetro igual a 12.700 km). Si le agregáramos 100 km más a esta banda, ya
no estaría tan ajustada. ¿Cuánto se separará del planeta la banda ahora?, ¿unos
pocos metros tal vez? Realizando unos sencillos cálculos se observa que la
banda se separa casi 16
kilómetros de la superficie terrestre.
Paradoja de Galileo: Por cada número cuadrado
hay un número natural. Galileo Galilei (1564-1642) estableció una
correspondencia biunívoca entre conjuntos infinitos unos tres siglos antes de
que lo hiciera el descubridor de los transfinitos, Georg Cantor (1845-1918).
Paradoja de Bertrand: En un saco hay 3 monedas. Una es de oro, otra es de plata y la tercera
tiene una cara de oro y otra de plata. Se saca una moneda y se la apoya en una
mesa, de forma tal que no se ve la cara de abajo, pero quedando a la vista una
cara que es de oro. ¿Cuál es la posibilidad de que la cara de abajo sea también
de oro? La primera idea que a la mayoría de la gente se le ocurre es
incorrecta: es obvio que la moneda extraída no es la de plata, puede ser la de
oro o la de oro-plata, por lo que hay un 50% de posibilidades de que sea de
oro. La verdad es que las posibilidades de que sea de oro es superior, ya que
hay tres casos posibles: que sea una de las caras de la moneda oro-oro, que sea
la segunda cara de la moneda oro-oro, o que sea la cara de oro de la moneda
oro-plata. Es decir que hay 2/3 de posibilidades de que la cara de abajo sea de
oro y 1/3 de que sea de plata.
Paradoja de Monty Hall: Un concursante en un programa de televisión debe elegir una de tres
puertas cerradas. Detrás de una de ellas se encuentra el premio, un auto,
detrás de las otras hay cabras. El concursante elige una puerta y lo anuncia al
público. Luego, Monty (el presentador del programa), quien sabe dónde está el
auto, abrirá una de las otras dos y mostrará que hay una cabra. Si se le da la
opción al concursante de cambiar de puerta, ¿le conviene cambiar o mantener su
elección original? ¿Hay alguna diferencia?
Al elegir por primera vez, la probabilidad
de ganar el premio es de 1/3, pero al abrir una de las otras dos puertas, la situación
cambia. Si pensaste que luego de mostrar una de las cabras era tan factible
ganar como perder, piensa de nuevo. No te sientas mal, hiciste justamente lo
que la común intuición indica. Al elegir una de las puertas, la probabilidad de
que el auto esté en cualquiera de ellas es de 1/3, es decir, si elijo, por
ejemplo, la puerta 1, mi probabilidad de ganar es de 1/3 y mi probabilidad de
perder es de 2/3. El conductor del programa siempre podrá abrir una de las
otras dos puertas y mostrar una cabra, ya que, si elegí bien, quedarán dos
cabras en las otras dos puertas, si elegí mal, habrá una cabra y un auto en las
puertas 2 y 3. Las puertas 2 y 3 tienen 2/3 de probabilidades de contener el
auto, el hecho de que el conductor abra una de ellas no modifica esto y, por lo
tanto, la puerta que no abrió tiene una probabilidad de 2/3 de ser la ganadora,
ya que la puerta 1 (la que elegí originalmente) sigue teniendo 1/3 de probabilidades
de ocultar el auto.
Si aún no te convenciste, podés
hacer una lista de las posibles ubicaciones del auto y las posibles elecciones
de un participante (9 casos en total), luego fijate si habría convenido cambiar
o no en cada uno de ellos.
Otra
forma de verlo es replantear el problema. Si en lugar de haber sólo tres
puertas hubiese 100 y tras la elección original el presentador abriese 98 de
las restantes revelando 98 cabras, si el concursante no cambiase su elección
ganaría el auto sólo si lo ha escogido originalmente (1 de cada 100 veces),
mientras que si la cambia, ganaría si no lo ha escogido originalmente, es
decir, 99 de cada 100 veces.
Paradoja del cumpleaños: Si hay 23 personas reunidas, la probabilidad de que al menos dos
personas cumplan años el mismo día es de un 50,7%. Para 60 personas la
probabilidad es mayor al 99%. El truco es calcular la probabilidad de que n cumpleaños sean diferentes,
probabilidad dada por:
Para hallar la probabilidad de que haya al menos una coincidencia se debe
restar este resultado a 1. En un grupo de 367 personas (considerando los años
bisiestos) es seguro que habrá al menos dos que cumplen años el mismo día. Se
obtiene así una función de dominio natural con máximo en
, cuya imagen va de 0 a 1:
Paradojas condicionales
Son situaciones en las cuales se hacen ciertas
suposiciones que demuestran que algunas cosas son imposibles o incompletas.
Paradoja del viaje en el
tiempo o paradoja del abuelo: ¿Qué pasaría si yo viajara
en el tiempo y mato a mi abuelo antes de que él conozca a mi abuela?
Paradoja de Protágoras o del abogado: Cuenta la
leyenda que el famoso sofista griego Protágoras de Abdera (485-411 a.C.
aproximadamente), hizo un contrato con su alumno Evatlo en donde acordaban que este
último le pagaría las clases únicamente si ganase su primer caso. El alumno
nunca participó de un juicio hasta que un día su maestro lo demandó. Si el joven
ganara el juicio, por ley no debería pagarle a su tutor, pero por contrato
debería hacerlo. Si perdiera el juicio, debería pagarle por orden del tribunal,
pero no por contrato.
Paradoja de la fuerza irresistible: ¿Qué pasaría si
una fuerza irresistible chocase con un objeto inamovible? Se concluye que estos
dos objetos no pueden coexistir en un mismo tiempo y en un mismo universo.
Paradoja de la omnipotencia: Un dios
omnipotente (que posee un poder sin límites) debería poder crear cualquier cosa
que se proponga, por ejemplo, puede crear piedras. Debe poder crear piedras tan
grandes como él quisiera, incluso una tan grande que ni siquiera él pueda
mover, pero si existe un objeto que no puede mover, entonces no es omnipotente.
Paradojas humorísticas: Existen frases o
situaciones en donde se genera una condición que hace un círculo vicioso
ridículo (algunas veces con motivo de hacer reír, otras personas lo hacen sin
querer). El actor y humorista estadounidense conocido como Groucho Marx solía
hacer chistes con juegos de palabras. Muchas de sus citas podrían considerarse
paradójicas; algunas de ellas son: “Encuentro a la televisión muy educativa,
cada vez que alguien la enciende me voy a la habitación de al lado a leer un
libro”, “Jamás pertenecería a un club que admitiera como socio a alguien como
yo”. Otros ejemplos son la del escritor alemán Berthold Brecht: “Un hombre debe
tener por lo menos dos vicios, uno solo es demasiado”, la del dramaturgo
francés Voltaire: “Proclamo en voz alta la libertad de pensamiento y muera el
que no piense como yo” y la del escritor Mark Twain: “La fe consiste en creer
aquello que sabes que es falso”.
Muchos carteles pueden ser considerados paradojas
condicionales, como uno que diga “Cierre la puerta antes de entrar”, “Prohibido
prohibir” o el siguiente:
Paradoja del condenado: A un preso
sentenciado a muerte le piden que adivine de qué lo van a matar. Si adivina, lo
matarán en la horca, si no lo hace, lo matarán en la silla eléctrica. ¿Qué
puede decir el preso para confundir a sus verdugos?
En este tipo de paradojas
suele haber una alusión a sus propios principios, por lo que terminan siendo
similares a las antinomias, pero de una manera indirecta.
Paradojas específicas de
un área de conocimiento
Algunas paradojas no se pueden comprender si uno
no tiene conocimientos específicos sobre algún área en particular. Por
supuesto, algunas paradojas corresponden a más de una categoría, ya que toda
esta clasificación es arbitraria.
Paradojas de Zenón: Las famosas
paradojas que Zenón de Elea (490-430 a.C.) inventó para defender las ideas de
su maestro Parménides han ayudado a desarrollar cuestiones matemáticas como
límite, infinito, continuidad y el concepto de función.
v La Dicotomía: Es imposible recorrer una distancia dada. Para recorrerla, debe recorrerse primero la mitad de la distancia, luego, la mitad de la distancia restante; luego, otra vez, la mitad de la que queda y así sucesivamente. Se deduce que siempre queda alguna parte de la distancia sin recorrer y, por lo tanto, el movimiento es imposible. Las distancias sucesivas a recorrer forman una serie geométrica infinita:
Cada uno de los términos es la mitad del que lo
precede. Por más que alguien dedicara toda su vida a sumar los términos de la
sucesión, nunca llegaría a sumar 1.
Se puede plantear la paradoja al revés, es
decir, para recorrer una distancia debo recorrer primero la mitad de ella, para
recorrer esta mitad debo recorrer la mitad de esta mitad y así sucesivamente,
por lo tanto es imposible siquiera partir del lugar en donde estoy.
Operando con límites se observa que cuando la
cantidad de términos tiende a infinito, la suma es igual a 1.
v Aquiles y la tortuga: En una carrera entre ellos, el héroe le deja una ventaja a su lenta contrincante. Para ganarle debe primero alcanzar el lugar de donde ella partió, pero al lograrlo la tortuga ya ha salido y ha recorrido algo de camino. Cuando Aquiles llegue a esa nueva ubicación, la tortuga habrá avanzado un poco más. Aunque Aquiles parezca estar cada vez más cerca, la comedia se repite indefinidamente, siempre que llegue al lugar en donde estaba la tortuga, ésta se habrá movido y, por lo tanto, ganará la carrera.
Es como ir en un caballo de un carrusel y
querer alcanzar al jinete que va adelante.
Hallando la intersección de las funciones que
representan los recorridos de Aquiles y de la tortuga, ya sea como un sistema
de ecuaciones o sobre un par de ejes cartesianos, se puede ver fácilmente el
momento y el lugar exacto en donde Aquiles y la tortuga se encuentran en un
mismo lugar, a partir de ese momento Aquiles liderará la carrera.
v La flecha: Se lanza una flecha. En cada momento de tiempo, la misma estará en una posición específica y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tendrá tiempo de moverse, por lo que está en reposo durante ese instante. Durante los siguientes períodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo.
Los griegos no tenían el concepto de función,
por lo que no podían plantear este problema como el simple hecho de que a cada
valor de tiempo le corresponde un único lugar en todo el recorrido de la flecha
ni mucho menos el de límite, por lo que no consideraban que un tiempo o un
espacio determinado pueden dividirse en una cantidad infinita de fracciones.
v El estadio: Dos filas de soldados (Y Y Y Y y Z Z Z Z) parten de los extremos de un estadio en dirección al centro (la tribuna formada por X X X X) a la misma velocidad.
En el tiempo que el primer soldado Y recorrió un espacio
igual a dos X, el primer soldado Z recorrió los espacios de los cuatro soldados
Y. Dado que los tamaños de X, Y y Z son iguales, se concluye que la
velocidad de los soldados Z es el doble que la de los soldados Y, contradiciendo
la hipótesis de que la velocidad es la misma.
Lo que ocurre es
que, en realidad, la velocidad es una medida relativa.
Los cuervos de Hempel: Esta es una
paradoja lógica, si bien todas las paradojas lo son, esta es específicamente acerca
del razonamiento lógico. Hempel da un principio de inducción, propone como
teoría “todos los cuervos son negros”, mientras más cuervos negros observemos,
más fuerte será nuestra creencia en esta teoría. La afirmación “todos los
cuervos son negros” es equivalente, en lógica, a decir “todas las cosas
no-negras son no-cuervos” (por ser el contrarrecíproco), por lo tanto, si
observamos una manzana roja, es consistente con esta segunda afirmación. Una
manzana es una cosa no-negra y, cuando la observamos, vemos que es no-cuervo,
por el principio de inducción, entonces el observar una manzana roja debe
incrementar nuestra confianza en que todos los cuervos son negros.
El gato de Schrödinger: Es un
experimento imaginario inventado por el físico austríaco Erwin Schrödinger
(1887-1961) que consiste en una caja cerrada que contiene un gato, una botella
con un gas venenoso y un dispositivo que tiene una probabilidad aleatoria del
50% de abrir la botella y matar al felino. Hasta el momento de abrirse la caja
es imposible saber si el gato está vivo o muerto, por lo tanto, según los
principios de la mecánica cuántica, el gato está en dos estados superpuestos
“vivo” y “muerto” al mismo tiempo.
El cuerno de Gabriel o la trompeta de Torricelli: Se trata de una
figura geométrica que tiene la característica de poseer una superficie infinita
pero un volumen finito. Esta paradoja fue inventada por el físico y matemático
italiano Evangelista Torricelli (1608-1647).
Se desea pintar la superficie de esta trompeta. Suponiendo
una superficie y una pintura sin grosor, será necesaria una cantidad infinita
de pintura para pintar, ya sea su superficie exterior o interior, sin embargo,
se puede volcar una cantidad finita de pintura dentro del cuerno y así cubrir
todo su interior.
Paradoja de Richard: Fue creada por
el matemático francés Jules Richard en el año 1905. La paradoja considera al
conjunto de todos los números que pueden definirse utilizando un número finito
de palabras. Fácilmente puede observarse que este conjunto es numerable, ya que estas definiciones pueden ordenarse lexicográficamente y numerarse los números decimales definidos en una lista. Ahora procedemos de la misma manera que la demostración diagonal de Cantor, definiendo al número cuya n-ésima cifra decimal se reemplaza por la cifra al n-ésimo decial del n-ésimo número de la lista (cuando p no es igual a 8 o a 9, en caso contrario se la reemplaza por la cifra 1 para evitar problemas con casos particulares.
Este número decimal no está contenido en la lista original, ya que se diferencia de cada elemento de la misma en al menos un decimal, en efecto, del n-ésimo número decimal en la n-ésima posición. Sin embargo ha sido definida por medio del párrafo anterior, empleando un número finito de palabras, por lo que pertenece al conjunto de todos los números decimales finitamente definibles.
Kurt Gödel (1906-1978) se refirió más tarde a la paradoja de Richard, señalando que su teorema de la indecibilidad era un análogo a ella.
¿Qué cosas ocurren en este hotel? Más allá de lo que nos diga nuestra
intuición, le acabamos de quitar elementos a un conjunto y éste siguió teniendo
la misma cantidad de elementos, vimos como un conjunto y un subconjunto pueden
tener el mismo cardinal, un valor no nulo es igual al doble de sí mismo… cosas
del álgebra transfinita.
La paradoja de los dos sobres: Hay dos sobres de los cuales uno tiene el doble de dinero que el otro.
Si tomo uno y otra persona toma el otro y antes de abrirlo me ofrecen cambiar
mi elección, puedo pensar lo siguiente: “En este sobre hay x cantidad de dinero, si en el otro hay 2x y cambio, gano x, en
cambio si en el otro hay 0,5x y
cambio, pierdo 0,5x, es decir que la
cantidad que ganaría sería el doble que la cantidad que perdería, por lo que me
conviene cambiar de sobre”. El problema radica en que la otra persona puede
seguir el mismo razonamiento y nos conviene cambiar de sobres indefinidamente.
El
dilema del prisionero: Es un problema
fundamental de la teoría de juegos, fue desarrollado por Merrill M. Flood y
Melvin Dresher en 1950. Se trata de una situación en la que dos sospechosos son
arrestados y, por separado, les ofrecen un trato par que confiesen su crimen.
Si ambos confiesan, se los condenará a 6 años de cárcel a cada uno, si uno
confiesa y el otro no, al que confesó lo dejarán libre y al otro le darán 10
años de cárcel, y si ninguno confiesa, por falta de evidencias los tendrán 1
año preso a cada uno. Se puede resumir los casos en un cuadro o en una matriz:
Está claro que trabajando en equipo
pasarían 1 año en la cárcel cada uno, obteniendo el máximo beneficio mutuo
pero, por buscar lo más conveniente individualmente, lo más probable es que
ambos confiesen y terminen 6 años en la cárcel, sumando 12 años, que es la máxima
cantidad en total.
Este tipo de problemas ayudó a comprender muchas situaciones en la vida
real en las cuales la gente, por buscar su propio beneficio, termina
perjudicándose, cuando si se hubiese buscado lo mejor para todo el grupo, el
resultado habría sido mucho mejor.
Las paradojas están entre los problemas más atractivos e instructivos. Probablemente gran parte de su atractivo se deba a la contradicción inesperada de que surjan tantas de ellas precisamente en la matemática, modelo de ciencia exacta y reino de la razón más pura. Puesto en palabras de Kasner y Newman:
“Quizás la mayor de todas las paradojas es que haya paradojas en matemática”.
¿Para qué sirven las paradojas?
A pesar de que las paradojas suelen aparecer como
curiosidades, casi como juegos separados de toda aplicación, son muy
importantes en las ciencias y en la educación:
Ø Las paradojas específicas de
un área de conocimiento se basan en pequeños errores o ambigüedades que
aparecen en la ciencia. La falta de rigor suele llevar a enunciados a los que
se les puede asignar valor de verdad o falsedad. La paradoja aparece entonces
como una crítica constructiva, que ayuda al desarrollo de la ciencia, la cual
deberá trabajar más en su fundamentación y rigor para poder salvar la falla
encontrada.
Ø Muchas demostraciones (sobre
todo las que se realizan en forma indirecta) utilizan planteos similares al de
una paradoja, que llevan a situaciones imposibles.
Ø Las paradojas, en su
totalidad, requieren de un gran nivel de abstracción y una comprensión del
infinito. Para poder interpretar una paradoja no siempre puedo seguir un
razonamiento con lápiz y papel, o ejemplificar utilizando situaciones reales u
objetos materiales, éstas existen únicamente en nuestra imaginación, en situaciones
fantásticas, que sólo pueden ser comprendidas a través de un gran esfuerzo
intelectual, que supone una comprensión de saberes previos y trae consigo un
desarrollo del pensamiento lógico-deductivo. Cuando presentamos una paradoja a
alguien con fines didácticos, nuestro éxito no dependerá de que aquella persona
encuentre la falla en la misma ni que la logre relacionar con otras; habremos
logrado nuestro objetivo si la persona la pudo entender, llegando entonces a un
conflicto cognitivo. Las paradojas nos enseñan a pensar, a seguir una cadena de
razonamientos lógicos.
Ø El metalenguaje desarrollado
para “salvar” las antinomias dictamina los límites cognoscitivos del ser humano.
Formamos parte del mundo que nos rodea y a veces nos resulta imposible
comprender el por qué de ciertas cosas (el lector puede atribuirlas a la
naturaleza, el destino o a la deidad que le plazca). ¡Pero a no desesperar!,
bien es sabido que el hombre se hace preguntas que no tienen respuestas, pero
justamente en muchas de las preguntas más profundas y más humanas que nos
hacemos lo que importa no es la respuesta sino la pregunta en sí. El grado de
conocimiento de una sociedad no se mide sólo por sus respuestas, sino también
por sus preguntas.
Bibliografía
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Editorial Grijalbo.
ü Kasner,
E., Newman, J. (1985). Matemáticas e Imaginación. España. Editorial Hyspamérica Ediciones S. A.
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métodos fundamentales. México. Editorial Fondo de Cultura Económica.
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Dantan, A. R. (1992). Bertrand Russell y los orígenes de las paradojas de la
teoría de conjuntos. Madrid, España. Editorial Alianza.
ü Clark,
M. (2009). El gran libro de las paradojas. Madrid, España. Editorial Gredos.
Gracias por tus aportes, son muy constructivos.
ResponderBorrarGracias por el comentario, Patricia. Me alegro de que te sirvan mis aportes.
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