El método axiomático
El método axiomático fue instaurado por Euclides
en el siglo III a.C. en su obra Elementos, la cual trata principalmente sobre geometría (la geometría euclidiana). Si bien
los conocimientos que incluye su obra no son propios de él, sí lo es la
elección, secuenciación y, lo más importante, el método que emplea para ir
definiendo nuevos elementos a partir de otros más simples y la demostración de
propiedades a partir de otras más evidentes. La teoría que desarrolla en su
obra es un sistema axiomático, esto es: un conjunto de propiedades llamadas
axiomas y postulados a partir de los cuales, mediante el uso de deducciones
lógicas, se obtienen nuevas propiedades llamadas proposiciones. En la
actualidad no se hace diferencia entre axioma y postulado y a las propiedades
que se demuestran con ellos se las llama teoremas. Una de las críticas que se
le hizo a la obra de Euclides fue la de definir todo, inclusive aquellos
elementos considerados como primitivos, como punto y recta. Así como él implementa
el reduccionismo atomista en las proposiciones, lo mismo debería ocurrir en las
definiciones, pero la definición con fines didácticos podrían justificar este
hecho, además, Euclides pudo haber querido simplemente proponer una
desmaterialización de los objetos matemáticos cuando dio definiciones como "punto es una cosa que no tiene partes" y "recta es longitud sin anchura", ya que, luego de estas afirmaciones, queda claro que estos entes únicamente pueden
existir en nuestra imaginación, ya que la realidad sólo podría proporcionarnos
modelos imperfectos de ellos.
En el año 1899 el matemático alemán David Hilbert
(1862-1943) publicó su obra Fundamentos de la geometría donde realiza una construcción axiomática rigurosa de la geometría
euclidiana y propone, además, la osada idea de axiomatizar no sólo la
matemática, sino también la física. Al igual que en Elementos, lo riguroso de
esta nueva construcción consistió en establecer la compatibilidad de los
axiomas que emplea, esto es que sus consecuencias no sean contradictorias entre
sí y por otra parte su independencia, es decir que un axioma o grupo de axiomas
no pueda ser demostrado utilizando los otros. Hilbert establece algunas
diferencias luego de revisar detenidamente las “debilidades” de la obra de
Euclides. Un importante cambio de este sistema axiomático moderno es que los
axiomas no son verdades evidentes, como decía Euclides, sino que a ellos sólo se les exige que no presenten
ninguna inconsistencia con la teoría de la cual forman parte, y además
establece que la teoría desarrollada no necesariamente debe tener concordancia
con la realidad del mundo físico. Hilbert adhiere al modelo clásico de ciencia
de Aristóteles en decir que ciertos elementos de una teoría no deben definirse,
por ser considerados entes primitivos, y son las relaciones entre ellos
(formulados como axiomas y teoremas) los que nos explican sus propiedades.
Hilbert además aclara que no es necesario asignar un concepto explícito a los conceptos
indefinidos, según él: "Los elementos tales como punto, recta y plano, podrían sustituirse con mesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos, ya que lo que se discute y desarrolla son sus relaciones definidas".
La matemática para David Hilbert es un conjunto de fórmulas
constituidas por ciertos símbolos que no hacen referencia a objetos del mundo
que nos rodea, sino que es como un juego sin sentido. Para él, los fines
prácticos no son la esencia de la matemática, por lo que siempre estuvo más
interesado en los problemas de la metamatemática, ciencia encargada de analizar los fundamentos de la matemática. Con este fin
propuso en 1920 lo que se conoció como el Programa de Hilbert. Su objetivo era la demostración de la consistencia de la
aritmética elemental, es decir fundar un sistema axiomático de la misma que sea
completo y esté libre de contradicciones, luego se podría fundamentar a toda la
matemática a partir de éste. En 1931 el matemático y filósofo austríaco Kurt
Gödel (1906-1978) demostró el teorema de la incompletitud, éste dice que en todo sistema axiomático de aritmética existe
al menos una propiedad que se supone verdadera que no puede demostrarse con
elementos del mismo sistema. De ninguna manera esto significó la caída del
sueño de Hilbert, él fue muy optimista respecto a la demostración de este
teorema y, modificando algunos de sus objetivos iniciales, cierta parte de su
programa pudo ser exitosamente completada.
Condiciones de un sistema axiomático
Al crear un sistema axiomático, el objetivo es que el mismo
cumpla con ciertas características o condiciones lógicas, éstas son: consistencia (también
llamada compatibilidad), independiencia, saturación (también llamada completitud o integridad) y accesibilidad.
Consistencia:
Un sistema de axiomas es compatible, o consistente, cuando
operando lógicamente con sus axiomas no es posible llegar a demostrar que una
proposición y su opuesta son verdaderas. Para demostrar que esta propiedad no
se cumple es necesario encontrar tan solo un ejemplo.
Independencia:
Significa que ningún axioma del sistema, o parte de él,
puede ser deducido de los restantes. Por lo dicho anteriormente, un sistema con
dos axiomas iguales o equivalentes, obviamente no es independiente. Esta
propiedad no es imprescindible en la construcción de un sistema axiomático. Mientras
que un sistema inconsistente es totalmente inútil y objetable desde la lógica,
no puede hacerse ningún tipo de objeción lógica al hecho de que los axiomas de
un sistema sean dependientes.
Si un axioma puede demostrarse a partir de los demás,
entonces estaría probado que no es independiente. No obstante, al igual que
sucedía con la consistencia, el hecho de que no pueda probarse la redundancia
no prueba que sea independiente. Sin embargo, si negando un axioma (cambiándolo
por otro que sea contrario al mismo) se crea un nuevo sistema axiomático sin
contradicciones, eso implicaría que ese axioma es independiente, por el
contrario, si al negarlo obtuve un sistema inconsistente, la conclusión a la
que arribaría sería que el axioma depende de los otros y, por lo tanto, es
dependiente. En este último caso la teoría que se desarrollaría con un sistema
axiomático sin ese axioma dependiente sería la misma que la que se desarrolla
agregándolo.
La pregunta respecto al quinto postulado de Euclides era
precisamente si éste podía ser demostrado a partir de los demás, lo cual
implicaría que el sistema axiomático de su obra Elementos no es independiente.
Vale aclarar que a veces, para que la exposición de la
teoría sea más accesible, se agregan axiomas dependientes con fines didácticos
a un sistema axiomático.
Saturación:
Que un sistema este saturado, o que sea completo, significa
que toda proposición lógicamente deducida en la teoría, determinada por esos
axiomas, es necesariamente verdadera o falsa.
A un sistema axiomático completo no es posible añadirle axiomas nuevos si que se convierta en dependiente o inconsistente. Si se agregan más axiomas independientes a un sistema, éste estará más limitado, será menos general, hasta que no se podrán agregar nuevos axiomas independientes sin perder la consistencia; en este punto se dice que el sistema axiomático está saturado.
Esta propiedad suele ser la más difícil de comprobar.
Accesibilidad:
La simpleza de los axiomas es importante para que el sistema sea fácil de comprender.
Un mismo axioma puede expresarse de infinitas maneras distintas equivalentes, el
creador del mismo es quien debe presentar los axiomas de un modo “agradable”. Los
axiomas deben ser además fértiles para poder obtener con ellos numerosos
teoremas sin la necesidad de realizar demasiados pasos. Un ejemplo conocido de
la sustitución de un axioma por otro equivalente fue cambiar el viejo quinto
postulado de Euclides “Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los
ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas
prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en que están los ángulos
menores que dos rectos” por el sencillo “Por un punto exterior a una recta se
puede trazar una y sólo una paralela” del matemático y físico escocés John
Playfair (1748-1819).
Esta última característica de los sistemas axiomáticos no
es en realidad una condición lógica, pero no por eso es menos importante que la
consistencia, la independencia y la saturación. Como diría nada menos que el
matemático alemán considerado padre del análisis moderno, Karl Weierstrass
(1815-1897):
"Un matemático que no es también un poco poeta, no será jamás un matemático completo".
Características de la matemática de hoy
Se puede decir que la matemática está separada
de la filosofía en el sentido en que no necesita depender de la intuición, y no
es parte de la lógica, sino que utiliza sus reglas para demostrar, pero no
existen reglas para obtener los axiomas y enunciados, ya que allí reside la
creatividad y la imaginación del matemático.
La matemática, en la actualidad, se caracteriza por:
1) Emplear el método axiomático, que
consiste en:
a) Enunciar un conjunto de axiomas
(nociones primeras).
b) Deducir, de acuerdo con la lógica,
la consecuencia de esos axiomas, es decir, los teoremas matemáticos.
Un axioma es una proposición que se
toma como verdadera, no por su evidencia, sino porque no es contradictoria
dentro del cuerpo de doctrina al cual pertenece. Su veracidad no se demuestra.
2) Tender a una unificación de todas
las ramas. En este aspecto desempeña un papel fundamental la teoría de
conjuntos.
Ej.: Luego del Renacimiento nació la geometría analítica,
la cual unificó a la geometría con el
álgebra.
3) Basarse en estructuras algebraicas,
es decir, elementos de uno o varios conjuntos y una o varias operaciones
definidas en ellos.
Si quisiéramos definir matemática en una breve frase, una muy buena opción es:
La matemática es la ciencia de las estructuras.
Metodología de la matemática de hoy
La matemática se
estructura con dos clases de elementos, los conceptos por una parte, y las
proposiciones y relaciones por otro.
En esta estructuración intervienen dos procesos: el de
conceptuación y el de demostración. El primero corresponde a un encadenamiento
de conceptos, el segundo, a un proceso de encadenamiento entre proposiciones y
relaciones. Este último proceso se llama demostración.
Los conceptos matemáticos son entes abstractos que resultan
de considerar objetos o conjuntos de objetos que, a su vez, pueden ser reales o
no.
Existen cuatro tipos de conceptos:
1) La definición nominal explícita:
introduce palabras nuevas. No son proposiciones. Ej.: “Un triángulo equilátero
es el que tiene sus tres lados congruentes”, “Un número natural es primo si no
tiene otros divisores más que sí mismo y la unidad”.
2) La definición por abstracción: es
la que se obtiene al dividir un conjunto en diferentes particiones.
Ej.: “Los números con resto 1 tras
dividir por 3”.
3) La definición por recurrencia:
utiliza el principio de inducción completa., más que definiciones son un tipo
de razonamiento constructivo.
Ej.: “Sea a un número natural, su siguiente, a + 1, también los
es”.
4) La axiomática. Axiomatizar una
teoría significa:
ü Establecer un conjunto de conceptos llamados conceptos primitivos.
ü Establecer un conjunto de proposiciones y relaciones primitivas
llamados postulados o axiomas que se aceptan como verdades sin demostraciones.
ü Todo otro concepto que se establezca en la teoría debe ser definido
lógicamente y toda otra proposición que se formule deberá hacerse a partir de
los conceptos y proposiciones primitivas o de otras que hayan sido deducidas
con los recursos de la lógica.
¿Demostrar, justificar o verificar?
Se llama demostración o raciocinio matemático a
la combinación o enlace de dos o más proposiciones para obtener nuevas
proposiciones y relaciones. Es un razonamiento de un número finito de pasos que
se realiza con una lógica válida que progresa a partir de ideas que
se dan por ciertas (llamadas hipótesis) hasta la afirmación que se esté
planteando, o sea, hasta obtener la veracidad de la tesis formulada.
Cuando se demuestra una propiedad no debe esperarse que la misma se considere
demostrada de aquí a la eternidad. Por lo tanto, por más sutil que parezca el
error, no debe utilizarse, por ejemplo, la expresión “El teorema de Pitágoras
está demostrado en la obra Elementos de Euclides”, sino “Euclides demostró el
teorema de Pitágoras en su obra Elementos”, ya que por más rigurosa que sea una
demostración, la misma se irá perdiendo con el correr del tiempo. Siempre que
se exprese que determinado resultado fue demostrado, debe entenderse que fue
aceptado como válido por los matemáticos de la época en que se realizó, con su
propia elección de axiomas, metodología y vocabulario específico. De todos
modos, las críticas que se le puedan hacer a un antiguo trabajo no lo
desacreditan. Ya vimos como la matemática actual ha requerido que hasta la
mismísima obra de Euclides sea revisada, a pesar de haber sido lo máximo en lo
que concierne a rigor en su época.
Como dijo Henri Poincaré (1854-1912) en el año 1900:
“¿Hemos alcanzado por fin el rigor absoluto? En cada fase
de la evolución, nuestros padres creyeron que ellos también la habían
alcanzado. Si ellos se engañaban, ¿no nos estaremos engañando nosotros también?”
Una justificación es un razonamiento de menor
rigor que una demostración, pero que sirve en determinadas ocasiones para
validar una propiedad.
Una verificación es simplemente ver que para un ejemplo una
cierta propiedad se cumple; haría falta hacer lo mismo para todos los casos
posibles para asegurarse de que la propiedad es verdadera, y a veces la
cantidad de casos posibles es infinita.
Luego de la demostración de una propiedad, a veces otras
propiedades, ya conocidas o no, son casos particulares de ésta o simplemente
son una consecuencia de la misma. Se llama corolario a una propiedad que se
desprende de la demostración de otra y que, por lo tanto, no requiere de una
nueva demostración.
La demostración es la prueba de mayor rigor que existe en
matemática para asegurar la veracidad de una cierta propiedad.
Según Gauss:
"Empleo la palabra prueba no en el sentido de los abogados, para quienes dos medias pruebas son una prueba completa, sino en el sentido matemático, donde 1/2 de prueba es igual a 9 y se exige de una demostración que haga imposible cualquier género de duda".
Tres maneras de demostrar
Hoy, en matemática, se aceptan tres maneras diferentes
de demostrar una propiedad:
Demostración
directa
Las demostraciones directas suelen ser las más intuitivas,
es el tipo de demostración que se suele usar en geometría.
Los pasos a seguir son los siguientes:
1) HIPÓTESIS (H)
Se parte de uno o más axiomas y, si se desea, de una o más proposiciones
que hayan sido demostradas anteriormente en la teoría, las cuales son entonces
siempre verdaderas.
2) TESIS (T)
Se afirma que una nueva proposición es
verdadera.
3) DEMOSTRACIÓN (D)
Se prueba que H => T es verdadero.
Demostración
indirecta
La demostración indirecta es también llamada demostración
por reducción al absurdo. Se suele utilizar para demostrar la existencia de
elementos a partir de la imposibilidad de demostrar su no existencia. Los
elementos cuya existencia es demostrada por demostración indirecta suelen ser
aquellos con alguna relación con el infinito.
En este tipo de demostración se intenta demostrar lo
contrario de aquella propiedad que realmente deseo probar, luego, al fracasar,
demuestro lo que me había propuesto en primer lugar.
Los pasos a seguir son los siguientes:
1) Quiero demostrar que T es
verdadero, así que comienzo mi demostración partiendo de que T es falso, o lo
que es lo mismo, ~T es verdadero.
2) Se prueba que ~T => ~H es
verdadero.
3) H => T por ser contrarrecíproca de la demostrada en
el punto anterior.
4) Como H es verdadero, resulta T
verdadero.
Por ejemplo, la demostración de que un axioma es
dependiente de los demás se puede hacer en forma directa (deduciéndolo de los
otros) o en forma indirecta (negándolo y luego observar si el nuevo sistema
creado es o no consistente).
Demostración por
recurrencia
Este tipo de demostración es también llamado demostración
por inducción completa. Si bien la matemática es una ciencia esencialmente
deductiva, hoy se aceptan las demostraciones de este tipo como igualmente validas
que las otras dos. Se utiliza principalmente en teoría de números y en el
análisis de funciones.
Los pasos a seguir son los siguientes:
1) Probar que 1 (o cualquiera sea el
primer elemento del conjunto en cuestión) cumple la propiedad.
2) Se acepta que el número natural h también la cumple.
3) Se demuestra que si h cumple la propiedad, h + 1 también la
cumple.
4) Todos los números naturales tienen
esa propiedad.
Este tipo de demostración no utiliza únicamente reglas de
la lógica, sino que es propia de la matemática, en parte por involucrar al
infinito.
Teoremas y conjeturas
En la actualidad, los problemas sin respuesta que
presenta la matemática son, en su mayoría, respecto a falta de rigor y de
demostraciones. Son muchas las cuestiones que faltan resolverse, no tanto en
matemática aplicada, sino más bien en matemática teórica, es decir, en
cuestiones que sólo interesan a los matemáticos. Podría decirse que la
matemática puede responder prácticamente a cualquier pregunta que le hagan las
otras ciencias, pero no puede responder a muchas preguntas que ella misma se
hace. Esto es precisamente lo que la hace crecer, no sólo por las preguntas
aparentemente importantes, sino también por aquellas preguntas que parecen
sencillas, que nacen casi como un juego, pero que para poder hallar su
respuesta es necesario desarrollar montones de conceptos nuevos, lo que hace
que finalmente la respuesta a aquella pequeña pregunta sea mucho más importante que la pregunta en sí.
Muchos encunciados aparentemente ciertos carecen de demostración, a estos se los llama conjeturas, las cuales, cuando sean demostradas, pasarán a ser teoremas. Gran parte de las conjeturas se tratan de propiedades de los números, y se ha verificado, mediante el uso de ordenadores, que se cumplen para números de decenas o hasta centenares de cifras. A pesar de ésto, en matemática se exige una demostración formal para considerarse verdadera una propiedad. La resolución de algunas de estas conjeturas haría muy famoso a su descubridor, e incluso rico, ya que se pagan premios millonarios por ciertos problemas abiertos en matemática. Muchas conjeturas involucran a los números primos, éstas son particularmente difíciles de demostrar cuando se trata de sumas de primos, porque precisamente estos números se definen a partir de la multiplicación.
Algunas de las conjeturas más famosas que aún no han sido demostradas son:
- La conjetura de Goldbach: "Todo número par puede expresarse como la suma de dos números primos". Esta forma no es necesariamente única, por ejemplo, al 8 lo puedo expresar como 5 + 3, pero al 14 lo puedo expresar como 11 + 3 o bien como 7 + 7.
- La hipótesis de Riemann: "La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2". Esta conjetura tiene profundas implicaciones en la distribución de los números primos y en otras cuestiones de teoría de números.
En la imagen de este texto puede apreciarse la espiral de Sacks (descubierta en 1994), una espiral de Arquímedes sobre la que se ubican los números primos para analizar patrones en su distribución. Se asemeja mucho a la espiral de Ulam (descubierta en 1963), de forma cuadrada.
Si la suceción anterior fuese divergente, eso demostraría que hay infinita cantidad de números primos gemelos, pero en 1919 el matemático noruego Viggo Brun demostró su convergencia, hecho que tampoco implica que la cantidad de sumandos sea finita.
- La conjetura de Collatz: "Se parte de un número natural, si es par se lo divide por 2, si es impar se lo multiplica por 3 y se le suma 1; se repite el proceso hasta llegar al ciclo infinito 4, 2, 1". Por ejemplo, partiendo del número 17 se obtiene la sucesión 17, 52 , 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...
Utilizando una computadora se probó que la propiedad es cierta para cualquier número natural hasta el 258.
¿Qué estás esperando para demostrarlas?
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