PARADOJA DE LOS TRES CHIFLADOS

Recordemos la famosa paradoja de Epiménides (n. en la isla de Creta en el siglo VI a.C.) “Todos los cretenses son mentirosos”. Lo curioso es que si buscamos la biografía de este filósofo veremos que nació en el siglo VI a.C. … ¡en la isla de Creta!

Esta paradoja quizás haya sido la versión original de la paradoja del mentiroso. Cabe la aclaración de que, para la lógica, una persona mentirosa miente en cada una de sus frases, y cuando se dice que una persona dice siempre la verdad, lo hará sin excepciones; no conozco gente así en la vida real.

Existen interpretaciones que no presentan contradicción alguna: Supongamos que hay al menos UN cretense que diga la verdad, en este caso Epiménides habría mentido, convirtiéndolo a él en un mentiroso y a su frase en una proposición falsa (y no paradójica).

Hay otras maneras de "salvar" la paradoja usando la idea de metalenguajes. Por ejenplo suponiendo que Epiménides dijo la frase en un momento de sinceridad, lejos de las calles de Creta donde sigue la costumbre de su pueblo de mentir todo el tiempo. Podría haberla dicho en otro pais al que llegó cansado de esa fea costumbre, o escribirla en su diario íntimo, o incluso habérsela dichho a su terapeuta.

Una versión muy conocida pero con dos actores es la de Sócrates y Platón.

Platón dice que la.siguiente afirmación de Sócrates será falsa, a lo que su maestro responde: "Platón ha dicho la verdad".

De haber respondido algo como: "Platón miente", no habría paradoja alguna, solo dos hombres discutiendo sobre quién tiene razón.

En busca de otra versión de la paradoja del mentiroso diferente a las demás, inventé la que llamo Paradoja de los Tres Chiflados. Se trata de un diálogo entre estos tres comediantes.

Curly dice: “Larry es un mentiroso”

Larry dice: “Moe es un mentiroso”

Moe dice: “Curly es un mentiroso”

Ellos forman un ciclo de negación impar. Si Curly siempre dijera la verdad, ello implicaría que Larry miente al decir que Moe es un mentiroso, por lo que la frase de Moe sería cierta, convirtiendo a Curly en un mentiroso. Si empezamos con Curly diciendo una farsa, Larry dice entonces la verdad, y lo que dice Moe es falso, o sea que Curly no es un mentiroso.

No pueden estar los tres en lo cierto, no pueden los tres estar mintiendo. Un péndulo balanceándose entre tres espejos: la verdad, el absurdo y el abismo.

LACAN Y LA TOPOLOGÍA

 

La relación del psiquiatra y psicoanalista francés Jacques Lacan (1901-1981) con la topología es un aspecto fundamental de su teoría psicoanalítica, especialmente en su obra tardía. Él no utilizó las superficies topológicas simplemente como metáforas o ilustraciones; más bien, las integró como modelos formales para expresar las estructuras complejas y a menudo paradójicas de la psique humana, el inconsciente y la dinámica del deseo.

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Lacan recurrió a la topología por varias razones cruciales:

• Para desimaginarizar el psicoanálisis: Los conceptos originales de Freud a veces corrían el riesgo de ser interpretados de maneras demasiado espaciales o intuitivas (por ejemplo, el inconsciente como una "profundidad" o un "contenedor"). Lacan pretendía despojar estas representaciones imaginarias y concretas para revelar las relaciones lógicas y estructurales subyacentes. La topología, con su enfoque en las propiedades que permanecen invariables bajo deformaciones continuas, ofrecía una forma de pensar el espacio psíquico sin depender de la intuición espacial cotidiana.
• Para formalizar conceptos: Lacan buscaba dar a los conceptos psicoanalíticos un rigor comparable al de las matemáticas. Creía que la precisión de los modelos topológicos podía capturar la naturaleza esquiva del inconsciente, que, como el lenguaje, opera según reglas específicas, pero no siempre es reducible a una causalidad simple.
• Para representar el inconsciente como una superficie, no una profundidad: Para Lacan, el inconsciente no es una caverna oculta "debajo" de la conciencia. En cambio, lo propuso como una superficie, pero una retorcida y compleja, donde el adentro y el afuera, lo consciente y lo inconsciente, están continuamente vinculados. Las figuras topológicas como la banda de Moebius demuestran vívidamente esta continuidad, desafiando la idea de reinos internos y externos distintos.
• Para articular conceptos psicoanalíticos clave: Conceptos como la división del sujeto, el objeto a (la causa del deseo), la pulsión y las intrincadas relaciones entre lo Simbólico, Imaginario y Real encontraron una formalización precisa en las figuras topológicas. Estas formas permitieron a Lacan transmitir la naturaleza paradójica de estos conceptos, como la falta inherente en el sujeto o la circularidad del deseo.

Figuras topológicas clave y sus significados lacanianos

• La Cinta de Möbius: Esta superficie de una sola cara y un solo borde es fundamental para ilustrar la continuidad entre el adentro y el afuera, o lo consciente y lo inconsciente. Muestra cómo un camino continuo puede llevar de lo que parece ser un lado al "otro" sin cruzar un límite. Lacan la utilizó para representar la relación dinámica entre el sujeto y el Otro, y el retorno constante de elementos del inconsciente.

• El Toro: Con forma de donut, el toro tiene un agujero central. Lacan lo empleó para representar la circularidad del deseo y la falta fundamental. El agujero en el toro representa el objeto a, el objeto inalcanzable causa del deseo que alimenta su circuito interminable. El deseo, como un movimiento en la superficie del toro, siempre está circulando alrededor de este vacío central sin poder llenarlo.

• La Botella de Klein: Una superficie más compleja, no orientable, sin un interior o exterior diferenciado y sin borde. Esta figura permitió a Lacan explorar las intrincadas relaciones de la pulsión, particularmente su naturaleza autointersecante y reversible. Además, enfatiza la difuminación de las distinciones tradicionales entre el mundo interno y externo en el ámbito psíquico.

• El Nudo Borromeo: Aunque no es una "superficie" como las anteriores, el nudo borromeo es una estructura topológica crucial en la última enseñanza de Lacan. Consiste en tres aros enlazados de tal manera que, si uno de ellos se corta, los otros dos se separan. Lacan lo utilizó para modelar la interdependencia de los tres registros: lo Real, lo Simbólico y lo Imaginario. Este nudo demuestra que estas tres dimensiones no son entidades independientes, sino que están intrínsecamente ligadas, y la falla en una de ellas (por ejemplo, el corte de un aro) afecta a toda la estructura, lo que tiene implicaciones significativas para comprender las diferentes estructuras clínicas (neurosis, psicosis, perversión).

En esencia, el uso de la topología por parte de Lacan fue un movimiento radical para alejar el psicoanálisis de una psicología meramente descriptiva hacia una comprensión estructural y lógica del sujeto humano. Le proporcionó un lenguaje para expresar la naturaleza no intuitiva, paradójica y profundamente interconectada de los fenómenos psíquicos.

GLOSARIO DE TOPOLOGÍA

EL MILAGRO GRIEGO: TEANO

           “Teano es perfecta y su edad es un número perfecto”

         Pitágoras respondiendo sobre la edad de su esposa 

 

 

Nació en Crotona en el año 546 a.C. Fue matemática, filósofa y astrónoma. Fue esposa de Pitágoras.

Su padre era un hombre adinerado que acostumbraba patrocinar a científicos y artistas, entre otros, fue mecenas de Pitágoras. Teano fue enviada a estudiar con él, ya que su escuela era la única que admitía mujeres; de hecho, cuando ingresó, ya había otras diecisiete alumnas. Allí se destacó en muchas áreas y al fallecer Pitágoras se hizo cargo de la escuela, extendiendo junto con sus hijos, la labor que él había iniciado.

Se le atribuyen obras sobre la vida de Pitágoras, cosmología, teoría de números, sobre la virtud, sobre la piedad y sobre la razón áurea. Se cree que fue la primera en realizar un estudio sobre el número de oro.

La proporción áurea aparece, por ejemplo, como razón entre la diagonal y el lado del pentágono. Precisamente la estrella pentagonal, también llamada pentalfa o simplemente pitagórica, fue utilizada como símbolo de la escuela.

EL MILÁGRO GRIEGO: HIPATIA

  “Más vale correr el riesgo de equivocarse que cometer el pecado de no pensar” 

                                                                          Hipatia 

Nació en Alejandría (hoy Egipto) en el 355 de nuestra era y falleció alrededor del 415. 

Su padre, Teón de Alejandría, fue un matemático y astrónomo muy respetado en su época. Así, Hipatia se educó en un ambiente académico y culto, aprendiendo matemática y astronomía de su padre. Hipatia también estudió filosofía, oratoria, y aprendió sobre la historia de las diferentes religiones que se conocían en aquel entonces. Viajó a Atenas y a Roma siempre con el mismo afán de aprender y de enseñar. 

Dirigió la escuela neoplatónica de Alejandría, y muchos sabios viajaban desde lejos para escuchar sus enseñanzas. Es considerada el número uno entre los matemáticos de su época. No se conservan escritos suyos, pero escribió comentarios sobre obras de Ptolomeo, Apolonio y Diofanto, y es probable que hoy estén incluidos en estos escritos tras las traducciones. 

Su pensamiento era lógico y odiaba el misticismo, dedicó su vida a las ciencias y nunca se casó, a pesar de contar con muchas propuestas para ello. Murió atacada violentamente por un grupo de cristianos, en medio de las luchas políticas entre el patriarcado alejandrino y el poder imperial. Algunos culpan al Patriarca Cirilo de Alejandría de su muerte. Estas cuestiones convirtieron a Hipatia en un ícono del feminismo y de la tolerancia, en un mártir de la ciencia y en símbolo de la decadencia del mundo clásico frente al cristianismo y la irracionalidad. 

Se ha asociado la muerte de Hipatia con la destrucción de la Biblioteca de Alejandría. La Gran Biblioteca desapareció en un momento incierto del siglo III, probablemente en el 391. Luego de destruida la biblioteca Hipatia continuó enseñando en su propia casa. 

En su honor se llamó Hipatia a la organización mundial, popular y democrática que promueve la adopción de políticas públicas, junto a conductas humanas y sociales que favorezcan la libre disponibilidad, sustentabilidad y socialización de la tecnología y el conocimiento, su uso solidario y la viabilidad del modelo económico y social que la construya en términos de igualdad e inclusión de todos los seres humanos del mundo.

ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL

Una variable aleatoria es a una función que asigna a cada suceso de un experimento, un valor real. Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. Si el recorrido de dicha variable es contable, se dice que se trata de una variable aleatoria discreta, en caso contrario se dice que es una variable aleatoria continua.

Ejemplos de distribuciones de probabilidad discretas son las llamadas distribuciones de Bernoulli, éstas son: la distribución binomial, la distribución de Poisson y la distribución hipergeométrica.

Ejemplos de distribuciones de probabilidad continua son: la distribución normal, la distribución uniforme y la distribución exponencial negativa.

En una variable aleatoria continua:

·         f es no negativo.

·         El área bajo la curva de f es 1.

·         La probabilidad de que X se encuentre en el intervalo [a ; b] es igual al área bajo f entre  x = a  y  x = b.

La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana es la distribución continua que aparece con mayor frecuencia ligada a fenómenos naturales, sociales y psicológicos (alturas, pesos, coeficientes intelectuales, consumo, errores). El francés Abraham de Moivre fue el primero en estudiar esta curva en realidad, pero ese es otro tema. Su gráfica tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media geométrica. Esta curva se conoce como campana de Gauss. Su ecuación es:

Siendo μ la media aritmética y σ el desvío estándar (o desvío típico o simplemente desvío).

Aquella para la cual μ = 0  y  σ = 1 se llama distribución normal estándar, y se la designa como N(0;1). Esta curva es entonces simétrica respecto de x = 0 y su ecuación es:

Esta función no se puede integrar mediante los métodos tradicionales (sustitución, por partes, etc.). Por ser una función de probabilidad, debe cumplir con lo visto anteriormente. Se toma la raíz positiva y por estar multiplicada por una exponencial, es positiva, falta demostrar que el área desde -∞ hasta +∞ debe ser igual a 1.

Esta integral da por resultado una constante a la cual llamaremos I, que es igual al área bajo la curva.

Si cambiamos el nombre de la variable, esto sigue siendo igual a I, así:

Multiplicándolas entre sí:

Por (2), por ser igual a una constante, se puede expresar a la integral de la siguiente manera:

Integrando respecto de x, se toma a la y como una constante, por lo que se puede expresar la integral de la siguiente manera:

Por ser un producto de exponentes de igual base:

Realizaremos un cambio de coordenadas de cartesianas a polares, siendo x² + y² = r², o sea que:

En el siguiente gráfico se observa los diferenciales en un área de una curva polar:

La siguiente imagen muestra las variables y los diferenciales en una integral utilizando coordenadas polares:

Los límites de integración son: 0 ≤ r  y  0 ≤ θ ≤ 2π

Por lo tanto, la integral a resolver es:

Esto se cancela con el coeficiente de (1), por lo que el área bajo la curva es igual a...

CORRIENTES FILOSÓFICAS DE PENSAMIENTO MATEMÁTICO

INTUICIONISMO

· Por intuición no se refiere a algo captado por los sentidos, sino que se refiere a lo inteligible o evidente.

· El concepto fundamental de la matemática es la construcción. La construcción es una entidad mental. Un ente matemático existe únicamente si es construible.

· No acepta realidades que no podamos captar directamente.

· No se puede demostrar la verdad de una proposición refutando su falsedad, o sea que no se puede demostrar existencia de un objeto demostrando la imposibilidad de su no existencia.

· Rechazan el principio del tercer excluso.

· Rechazan la teoría de conjuntos en todo lo que se refiere al infinito no contable.

· Ninguna ciencia, ni siquiera la lógica y la filosofía pueden servir de base para la matemática.

· Deseaban separar a la matemática de la lógica porque decían que la lógica puede conducir a errores.

PRECURSORES:

Immanuel Kant (1724-1804). Filósofo alemán. Habló de la recepción de impresiones, de las cuales el ser humano no es un receptor pasivo, sino que les impone un orden y una forma, que es la intuición pura. El ser humano reconoce un objeto por medio de esas representaciones. Habló de juicios sintéticos (agregan algo nuevo al conocimiento, porque el predicado no está contenido en el sujeto) a priori (son independientes de la experiencia, provienen de la intuición pura). Este tipo de juicios corresponde a las verdades matemáticas.

Si bien en un principio se lo puede considerar un precursor, los intuicionistas lo desacreditaron por misticista. Además, siguiendo las ideas de Kant, el recorte de las matemáticas modernas sería absoluto.

Leopold Kronecker (1823-1891). Matemático polaco. Estaba en contra de las ideas de Cantor. Era finitista (un objeto matemático no existe a menos que sea construido partiendo de números naturales en un número finito de pasos).

Es famosa su frase "Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre".

Henri Poincaré (1854-1912). Matemático francés. Fue el ultimo “universalista”, luego de Gauss. Considera que el principio de inducción completa es el verdadero método de la matemática, y en el cual reside su poder creador, que es distinto de los principios de la lógica. Demostró la consistencia relativa de las geometrías no euclidianas. No se preocupaba por ser riguroso, una vez que sentía que tenía la solución de un problema lo dejaba inconcluso. Sentía aversión por la lógica. Se decía que era como una mariposa que vuela de flor en flor.

INTUICIONISTAS O NEOINTUICIONISTAS (para distinguirlos de las otras escuelas intuicionistas):

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966). Matemático holandés.

Hermann Weyl (1885-1955). Matemático alemán. Trabajó junto con Hilbert pero luego criticó sus ideas.

Arend Heyting (1898-1980). Matemático holandés especializado en lógica. Fue discípulo de Brouwer.

CRÍTICAS QUE RECIBIÓ EL INTUICIONISMO:

· Realizan un recorte de la matemática. David Hilbert dijo “el intuicionismo representa una mutilación de la matemática”, y que “deja afuera a todos los tesoros de la matemática”, ya que según el intuicionismo, quedaría afuera todo lo referente al análisis matemático y por ende a casi toda la matemática moderna. Según Hilbert “prohibirle a un matemático que utilice el principio del tercer excluso es como prohibirle a un boxeador que utilice sus puños”.

· Hay un cierto misticismo en la explicación de que ciertas cuestiones son evidentes para los seres humanos según lo afirma el intuicionismo.

LOGICISMO

· Sostiene que la matemática es reducible a la lógica, es decir que la matemática es un lenguaje de la lógica y que toda verdad matemática puede expresarse según símbolos lógicos.

· La matemática entonces es una serie de tautologías.

PRECURSORES:

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Matemático, lógico y filósofo alemán. Dijo que la matemática es la lógica de la imaginación. Intentó crear una lógica simbólica que permitiera demostrar proposiciones de cualquier rama del saber.

LOGICISTAS:

Gottlob Frege (1848-1925). Matemático, lógico y filósofo alemán. Intentó demostrar que la aritmética es parte de la lógica (para luego fundamentar toda la matemática en la aritmética) en su obra “Leyes básicas de la aritmética”. En 1902 recibe una carta de Russell con su paradoja que demuestra la inconsistencia de su obra.

Bertrand Russell (1872-1970). Matemático, lógico, filósofo y escritor galés. Para salvar las paradojas como la que él mismo inventó creó la teoría de tipos. Premio Nobel en literatura en 1950.

Alfred North Whitehead (1861-1947). Matemático y filósofo inglés. Escribió junto con Russell la obra “Principia Mathematica”, obra de tres tomos que continúa las ideas de Frege pero incluye la teoría de tipos.

CRÍTICAS QUE RECIBIÓ EL LOGICISMO:

· Impone de manera dogmática la teoría de tipos.

· No considera la parte creativa de la matemática en la formulación de conjeturas.

· La lógica requiere de un axioma que involucre al infinito.

FORMALISMO

· Eliminan a la intuición de la matemática.

· Un ente matemático existe si está exento de contradicción

· No existen conceptos correctos o incorrectos, nosotros los inventamos, el requisito es que no haya contradicciones en la teoría.

· Sostienen que la matemática es un sistema formal, es decir que las verdades primeras a partir de las cuales se construye el sistema axiomática son elegidas por su creador.

· Separa a la matemática de la filosofía.

· Considera que ni la matemática es parte de la lógica ni la lógica es parte de la matemática, pero que se desarrollaron una junta a la otra y que la matemática utiliza a la lógica en las demostraciones.

· Aceptan en su totalidad a la teoría de conjuntos de Cantor.

FORMALISTAS:

David Hilbert (1862-1943). Matemático alemán nacido en Königsberg. Creó lo que se llamó el Programa de Hilbert que intentaba fundamentar la aritmética y luego fundamentar a toda la matemática en la aritmética. También se propuso fundamentar a la física del mismo modo que a la matemática.

CRÍTICAS QUE RECIBIÓ EL FORMALISMO:

· Consideran a la matemática como a un juego sin sentido ni relación con la realidad.

· Aunque logren fundamentar una teoría, por más que esta no tenga contradicciones no significa que no esté mal desarrollada. Brouwer dijo que aunque el formalismo tuviera éxito “no se lograría nada de valor matemático; una teoría falsa que no se detiene por una contradicción, no por ello es menos falsa, del mismo modo que la criminalidad no deja de ser criminal porque un tribunal no la reprima”.

OTROS MATEMÁTICOS DE TRASCENDENCIA EN ESTAS CUESTIONES

Georg Cantor (1845-1918). Matemático nacionalizado alemán, nacido en Rusia. Creador de la Teoría de conjuntos y descubridor de los transfinitos. Muchas de las demostraciones de su teoría son por el absurdo, por lo que gran parte de ésta no fue aceptada por los intuicionistas.

Kurt Gödel (1906-1978). Matemático, lógico y filósofo austriaco-estadounidense, nació en lo que hoy es la República Checa. En 1931 demostro el teorema de la incompletitud: "No se puede establecer la consistencia de un sistema con herramientas del propio sistema". Es decir que hay ciertas proposiciones en matemática que son aparentemente verdaderas pero que jamás podrán ser demostradas.

Para más información sobre estos temas, te invito a leer:

IDEAS MODERNAS EN MATEMÁTICA

EL MILAGRO GRIEGO: PTOLOMEO

“El astrónomo debe esforzarse en conseguir el siguiente objetivo: demostrar que todos los fenómenos en el cielo los producen movimientos uniformes y circulares”

Ptolomeo

       Claudio Ptolomeo nació en Alejandría (hoy Egipto) en el año 90 de nuestra era y falleció en el 168. Fue astrónomo, astrólogo (actividades que en esa época estaban íntimamente ligadas), matemático y geógrafo. Trabajó en la famosa Biblioteca de Alejandría.

    Su obra más importante fue Almagesto, donde expuso su concepción geométrica y geocéntrica del universo, vigente hasta la época de Copérnico. Su método de trabajo difirió notablemente de la cosmovisión de Platón y Aristóteles, pues él era un empirista. Estudió la gran cantidad de datos existentes sobre el movimiento de los planetas con el fin de construir un modelo geométrico que explicase dichas posiciones en el pasado y fuese capaz de predecir sus posiciones futuras. Afirmó explícitamente que su sistema no pretendía describir la realidad, sino que era sólo un método de cálculo. Algunas diferencias notables respecto a la cosmología aristotélica es uso de órbitas excéntricas y de epiciclos (anteriormente utilizados por El Gran Geómetra Apolonio), para poder explicar la razón de los movimientos retrógrados que realizan los cuerpos celestes al girar alrededor de la Tierra, salvo la Luna y el Sol.

 

    Este aparente movimiento es explicado sencillamente en la actualidad por el modelo heliocéntrico: 

    Ptolomeo también construyó varios aparatos astronómicos con los cuales catalogó muchas estrellas según su brillo y magnitud, y estableció normas para predecir eclipses.

     Otra obra importante fue Geografía, fuente obligada de consulta para los cartógrafos hasta el Renacimiento. Allí describe el mundo de su época utilizando un sistema de latitud y longitud y afirmó la existencia de un extenso territorio al sur del planeta (o sea, la Antártida), necesario para mantener su equilibrio. Su obra Tetrabiblon es un tratado de astrología en el cual creó horóscopos según sus estudios de astronomía y de trigonometría, según el sistema sexagesimal de ángulos. En Óptica desarrolló la teoría matemática de las propiedades de la luz, sobre todo la refracción y la reflexión. Escribió un tratado de teoría musical llamado Harmónicos. Pensaba que las leyes matemáticas subyacen tanto los sistemas musicales como en los cuerpos celestes, y que ciertos modos y notas corresponden a planetas específicos, las distancias entre éstos y sus movimientos. La idea había sido propuesta por Platón en el mito de la música de las esferas. La NASA comprobó que el Sol produce un sonido no audible por el oído humano, por el casi vacío que nos separa y por su baja frecuencia. Aunque sus obras originales se perdieron, se conservan copias realizadas durante el Renacimiento.

Demostración del teorema de Ptolomeo