IDEAS MODERNAS EN MATEMÁTICA

El método axiomático

      El método axiomático fue instaurado por Euclides en el siglo III a.C. en su obra Elementos, la cual trata principalmente sobre geometría (la geometría euclidiana). Si bien los conocimientos que incluye su obra no son propios de él, sí lo es la elección, secuenciación y, lo más importante, el método que emplea para ir definiendo nuevos elementos a partir de otros más simples y la demostración de propiedades a partir de otras más evidentes. La teoría que desarrolla en su obra es un sistema axiomático, esto es: un conjunto de propiedades llamadas axiomas y postulados a partir de los cuales, mediante el uso de deducciones lógicas, se obtienen nuevas propiedades llamadas proposiciones. En la actualidad no se hace diferencia entre axioma y postulado y a las propiedades que se demuestran con ellos se las llama teoremas. Una de las críticas que se le hizo a la obra de Euclides fue la de definir todo, inclusive aquellos elementos considerados como primitivos, como punto y recta. Así como él implementa el reduccionismo atomista en las proposiciones, lo mismo debería ocurrir en las definiciones, pero la definición con fines didácticos podrían justificar este hecho, además, Euclides pudo haber querido simplemente proponer una desmaterialización de los objetos matemáticos cuando dio definiciones como "punto es una cosa que no tiene partes" y "recta es longitud sin anchura", ya que, luego de estas afirmaciones, queda claro que estos entes únicamente pueden existir en nuestra imaginación, ya que la realidad sólo podría proporcionarnos modelos imperfectos de ellos.

     En el año 1899 el matemático alemán David Hilbert (1862-1943) publicó su obra Fundamentos de la geometría donde realiza una construcción axiomática rigurosa de la geometría euclidiana y propone, además, la osada idea de axiomatizar no sólo la matemática, sino también la física. Al igual que en Elementos, lo riguroso de esta nueva construcción consistió en establecer la compatibilidad de los axiomas que emplea, esto es que sus consecuencias no sean contradictorias entre sí y por otra parte su independencia, es decir que un axioma o grupo de axiomas no pueda ser demostrado utilizando los otros. Hilbert establece algunas diferencias luego de revisar detenidamente las “debilidades” de la obra de Euclides. Un importante cambio de este sistema axiomático moderno es que los axiomas no son verdades evidentes, como decía Euclides, sino que a ellos sólo se les exige que no presenten ninguna inconsistencia con la teoría de la cual forman parte, y además establece que la teoría desarrollada no necesariamente debe tener concordancia con la realidad del mundo físico. Hilbert adhiere al modelo clásico de ciencia de Aristóteles en decir que ciertos elementos de una teoría no deben definirse, por ser considerados entes primitivos, y son las relaciones entre ellos (formulados como axiomas y teoremas) los que nos explican sus propiedades. Hilbert además aclara que no es necesario asignar un concepto explícito a los conceptos indefinidos, según él: "Los elementos tales como punto, recta y plano, podrían sustituirse con mesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos, ya que lo que se discute y desarrolla son sus relaciones definidas".

       La matemática para David Hilbert es un conjunto de fórmulas constituidas por ciertos símbolos que no hacen referencia a objetos del mundo que nos rodea, sino que es como un juego sin sentido. Para él, los fines prácticos no son la esencia de la matemática, por lo que siempre estuvo más interesado en los problemas de la metamatemática, ciencia encargada de analizar los fundamentos de la matemática. Con este fin propuso en 1920 lo que se conoció como el Programa de Hilbert. Su objetivo era la demostración de la consistencia de la aritmética elemental, es decir fundar un sistema axiomático de la misma que sea completo y esté libre de contradicciones, luego se podría fundamentar a toda la matemática a partir de éste. En 1931 el matemático y filósofo austríaco Kurt Gödel (1906-1978) demostró el teorema de la incompletitud, éste dice que en todo sistema axiomático de aritmética existe al menos una propiedad que se supone verdadera que no puede demostrarse con elementos del mismo sistema. De ninguna manera esto significó la caída del sueño de Hilbert, él fue muy optimista respecto a la demostración de este teorema y, modificando algunos de sus objetivos iniciales, cierta parte de su programa pudo ser exitosamente completada.

Condiciones de un sistema axiomático

   Al crear un sistema axiomático, el objetivo es que el mismo cumpla con ciertas características o condiciones lógicas, éstas son: consistencia (también llamada compatibilidad), independiencia, saturación (también llamada completitud o integridad) y accesibilidad.

Consistencia:

   Un sistema de axiomas es compatible, o consistente, cuando operando lógicamente con sus axiomas no es posible llegar a demostrar que una proposición y su opuesta son verdaderas. Para demostrar que esta propiedad no se cumple es necesario encontrar tan solo un ejemplo.

Independencia:

    Significa que ningún axioma del sistema, o parte de él, puede ser deducido de los restantes. Por lo dicho anteriormente, un sistema con dos axiomas iguales o equivalentes, obviamente no es independiente. Esta propiedad no es imprescindible en la construcción de un sistema axiomático. Mientras que un sistema inconsistente es totalmente inútil y objetable desde la lógica, no puede hacerse ningún tipo de objeción lógica al hecho de que los axiomas de un sistema sean dependientes.

     Si un axioma puede demostrarse a partir de los demás, entonces estaría probado que no es independiente. No obstante, al igual que sucedía con la consistencia, el hecho de que no pueda probarse la redundancia no prueba que sea independiente. Sin embargo, si negando un axioma (cambiándolo por otro que sea contrario al mismo) se crea un nuevo sistema axiomático sin contradicciones, eso implicaría que ese axioma es independiente, por el contrario, si al negarlo obtuve un sistema inconsistente, la conclusión a la que arribaría sería que el axioma depende de los otros y, por lo tanto, es dependiente. En este último caso la teoría que se desarrollaría con un sistema axiomático sin ese axioma dependiente sería la misma que la que se desarrolla agregándolo.

  La pregunta respecto al quinto postulado de Euclides era precisamente si éste podía ser demostrado a partir de los demás, lo cual implicaría que el sistema axiomático de su obra Elementos no es independiente.

     Vale aclarar que a veces, para que la exposición de la teoría sea más accesible, se agregan axiomas dependientes con fines didácticos a un sistema axiomático.

Saturación:

     Que un sistema este saturado, o que sea completo, significa que toda proposición lógicamente deducida en la teoría, determinada por esos axiomas, es necesariamente verdadera o falsa.

    A un sistema axiomático completo no es posible añadirle axiomas nuevos si que se convierta en dependiente o inconsistente. Si se agregan más axiomas independientes a un sistema, éste estará más limitado, será menos general, hasta que no se podrán agregar nuevos axiomas independientes sin perder la consistencia; en este punto se dice que el sistema axiomático está saturado.

      Esta propiedad suele ser la más difícil de comprobar.

Accesibilidad:

     La simpleza de los axiomas es importante para que el sistema sea fácil de comprender. Un mismo axioma puede expresarse de infinitas maneras distintas equivalentes, el creador del mismo es quien debe presentar los axiomas de un modo “agradable”. Los axiomas deben ser además fértiles para poder obtener con ellos numerosos teoremas sin la necesidad de realizar demasiados pasos. Un ejemplo conocido de la sustitución de un axioma por otro equivalente fue cambiar el viejo quinto postulado de Euclides “Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en que están los ángulos menores que dos rectos” por el sencillo “Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela” del matemático y físico escocés John Playfair (1748-1819).

     Esta última característica de los sistemas axiomáticos no es en realidad una condición lógica, pero no por eso es menos importante que la consistencia, la independencia y la saturación. Como diría nada menos que el matemático alemán considerado padre del análisis moderno, Karl Weierstrass (1815-1897):
"Un matemático que no es también un poco poeta, no será jamás un matemático completo".

Características de la matemática de hoy

     Se puede decir que la matemática está separada de la filosofía en el sentido en que no necesita depender de la intuición, y no es parte de la lógica, sino que utiliza sus reglas para demostrar, pero no existen reglas para obtener los axiomas y enunciados, ya que allí reside la creatividad y la imaginación del matemático.

     La matemática, en la actualidad, se caracteriza por:

1)  Emplear el método axiomático, que consiste en:

a)  Enunciar un conjunto de axiomas (nociones primeras).

b)  Deducir, de acuerdo con la lógica, la consecuencia de esos axiomas, es decir, los teoremas matemáticos.

Un axioma es una proposición que se toma como verdadera, no por su evidencia, sino porque no es contradictoria dentro del cuerpo de doctrina al cual pertenece. Su veracidad no se demuestra.

2)  Tender a una unificación de todas las ramas. En este aspecto desempeña un papel fundamental la teoría de conjuntos.

Ej.: Luego del Renacimiento nació la geometría analítica, la cual unificó a la geometría con el  álgebra.

3)  Basarse en estructuras algebraicas, es decir, elementos de uno o varios conjuntos y una o varias operaciones definidas en ellos.

Si quisiéramos definir matemática en una breve frase, una muy buena opción es:

     La matemática es la ciencia de las estructuras.

Metodología de la matemática de hoy

    La matemática se estructura con dos clases de elementos, los conceptos por una parte, y las proposiciones y relaciones por otro.

  En esta estructuración intervienen dos procesos: el de conceptuación y el de demostración. El primero corresponde a un encadenamiento de conceptos, el segundo, a un proceso de encadenamiento entre proposiciones y relaciones. Este último proceso se llama demostración.

      Los conceptos matemáticos son entes abstractos que resultan de considerar objetos o conjuntos de objetos que, a su vez, pueden ser reales o no.

Existen cuatro tipos de conceptos:

1)  La definición nominal explícita: introduce palabras nuevas. No son proposiciones. Ej.: “Un triángulo equilátero es el que tiene sus tres lados congruentes”, “Un número natural es primo si no tiene otros divisores más que sí mismo y la unidad”.

2)  La definición por abstracción: es la que se obtiene al dividir un conjunto en diferentes particiones.

Ej.: “Los números con resto 1 tras dividir por 3”.

3)  La definición por recurrencia: utiliza el principio de inducción completa., más que definiciones son un tipo de razonamiento constructivo.

Ej.: “Sea a un número natural, su siguiente, a + 1, también los es”.

4)  La axiomática. Axiomatizar una teoría significa:

ü Establecer un conjunto de conceptos llamados conceptos primitivos.

ü  Establecer un conjunto de proposiciones y relaciones primitivas llamados postulados o axiomas que se aceptan como verdades sin demostraciones.

ü  Todo otro concepto que se establezca en la teoría debe ser definido lógicamente y toda otra proposición que se formule deberá hacerse a partir de los conceptos y proposiciones primitivas o de otras que hayan sido deducidas con los recursos de la lógica.

¿Demostrar, justificar o verificar?

    Se llama demostración o raciocinio matemático a la combinación o enlace de dos o más proposiciones para obtener nuevas proposiciones y relaciones. Es un razonamiento de un número finito de pasos que se realiza con una lógica válida que progresa a partir de ideas que se dan por ciertas (llamadas hipótesis) hasta la afirmación que se esté planteando, o sea, hasta obtener la veracidad de la tesis formulada. Cuando se demuestra una propiedad no debe esperarse que la misma se considere demostrada de aquí a la eternidad. Por lo tanto, por más sutil que parezca el error, no debe utilizarse, por ejemplo, la expresión “El teorema de Pitágoras está demostrado en la obra Elementos de Euclides”, sino “Euclides demostró el teorema de Pitágoras en su obra Elementos”, ya que por más rigurosa que sea una demostración, la misma se irá perdiendo con el correr del tiempo. Siempre que se exprese que determinado resultado fue demostrado, debe entenderse que fue aceptado como válido por los matemáticos de la época en que se realizó, con su propia elección de axiomas, metodología y vocabulario específico. De todos modos, las críticas que se le puedan hacer a un antiguo trabajo no lo desacreditan. Ya vimos como la matemática actual ha requerido que hasta la mismísima obra de Euclides sea revisada, a pesar de haber sido lo máximo en lo que concierne a rigor en su época.

Como dijo Henri Poincaré (1854-1912) en el año 1900:

“¿Hemos alcanzado por fin el rigor absoluto? En cada fase de la evolución, nuestros padres creyeron que ellos también la habían alcanzado. Si ellos se engañaban, ¿no nos estaremos engañando nosotros también?”

    Una justificación es un razonamiento de menor rigor que una demostración, pero que sirve en determinadas ocasiones para validar una propiedad.

    Una verificación es simplemente ver que para un ejemplo una cierta propiedad se cumple; haría falta hacer lo mismo para todos los casos posibles para asegurarse de que la propiedad es verdadera, y a veces la cantidad de casos posibles es infinita.

   Luego de la demostración de una propiedad, a veces otras propiedades, ya conocidas o no, son casos particulares de ésta o simplemente son una consecuencia de la misma. Se llama corolario a una propiedad que se desprende de la demostración de otra y que, por lo tanto, no requiere de una nueva demostración.

   La demostración es la prueba de mayor rigor que existe en matemática para asegurar la veracidad de una cierta propiedad. 

Según Gauss:
"Empleo la palabra prueba no en el sentido de los abogados, para quienes dos medias pruebas son una prueba completa, sino en el sentido matemático, donde 1/2 de prueba es igual a 9 y se exige de una demostración que haga imposible cualquier género de duda".

Tres maneras de demostrar

   Hoy, en matemática, se aceptan tres maneras diferentes de demostrar una propiedad:

Demostración directa

Las demostraciones directas suelen ser las más intuitivas, es el tipo de demostración que se suele usar en geometría.

Los pasos a seguir son los siguientes:

1)  HIPÓTESIS (H)

Se parte de uno o más axiomas y, si se desea, de una o más proposiciones que hayan sido demostradas anteriormente en la teoría, las cuales son entonces siempre verdaderas.

2)  TESIS (T)

Se afirma que una nueva proposición es verdadera.

3)  DEMOSTRACIÓN (D)

Se prueba que H => T es verdadero.

Demostración indirecta

    La demostración indirecta es también llamada demostración por reducción al absurdo. Se suele utilizar para demostrar la existencia de elementos a partir de la imposibilidad de demostrar su no existencia. Los elementos cuya existencia es demostrada por demostración indirecta suelen ser aquellos con alguna relación con el infinito.

     En este tipo de demostración se intenta demostrar lo contrario de aquella propiedad que realmente deseo probar, luego, al fracasar, demuestro lo que me había propuesto en primer lugar.

Los pasos a seguir son los siguientes:

1) Quiero demostrar que T es verdadero, así que comienzo mi demostración partiendo de que T es falso, o lo que es lo mismo, ~T es verdadero.

2)  Se prueba que ~T => ~H es verdadero.

3)  H => T  por ser contrarrecíproca de la demostrada en el punto anterior.

4)  Como H es verdadero, resulta T verdadero.

Por ejemplo, la demostración de que un axioma es dependiente de los demás se puede hacer en forma directa (deduciéndolo de los otros) o en forma indirecta (negándolo y luego observar si el nuevo sistema creado es o no consistente).

Demostración por recurrencia

     Este tipo de demostración es también llamado demostración por inducción completa. Si bien la matemática es una ciencia esencialmente deductiva, hoy se aceptan las demostraciones de este tipo como igualmente validas que las otras dos. Se utiliza principalmente en teoría de números y en el análisis de funciones.

Los pasos a seguir son los siguientes:

1)  Probar que 1 (o cualquiera sea el primer elemento del conjunto en cuestión) cumple la propiedad.

2)  Se acepta que el número natural h también la cumple.

3)  Se demuestra que si h cumple la propiedad, h + 1 también la cumple.

4)  Todos los números naturales tienen esa propiedad.

Este tipo de demostración no utiliza únicamente reglas de la lógica, sino que es propia de la matemática, en parte por involucrar al infinito.

Teoremas y conjeturas

   En la actualidad, los problemas sin respuesta que presenta la matemática son, en su mayoría, respecto a falta de rigor y de demostraciones. Son muchas las cuestiones que faltan resolverse, no tanto en matemática aplicada, sino más bien en matemática teórica, es decir, en cuestiones que sólo interesan a los matemáticos. Podría decirse que la matemática puede responder prácticamente a cualquier pregunta que le hagan las otras ciencias, pero no puede responder a muchas preguntas que ella misma se hace. Esto es precisamente lo que la hace crecer, no sólo por las preguntas aparentemente importantes, sino también por aquellas preguntas que parecen sencillas, que nacen casi como un juego, pero que para poder hallar su respuesta es necesario desarrollar montones de conceptos nuevos, lo que hace que finalmente la respuesta a aquella pequeña pregunta sea mucho más importante que la pregunta en sí.

 Muchos encunciados aparentemente ciertos carecen de demostración, a estos se los llama conjeturas, las cuales, cuando sean demostradas, pasarán a ser teoremas. Gran parte de las conjeturas se tratan  de propiedades de los números, y se ha verificado, mediante el uso de ordenadores, que se cumplen para números de decenas o hasta centenares de cifras. A pesar de ésto, en matemática se exige una demostración formal para considerarse verdadera una propiedad. La resolución de algunas de estas conjeturas haría muy famoso a su descubridor, e incluso rico, ya que se pagan premios millonarios por ciertos problemas abiertos en matemática. Muchas conjeturas involucran a los números primos, éstas son particularmente difíciles de demostrar cuando se trata de sumas de primos, porque precisamente estos números se definen a partir de la multiplicación.

   Algunas de las conjeturas más famosas que aún no han sido demostradas son:

• La conjetura de Goldbach: "Todo número par puede expresarse como la suma de dos números primos". Esta forma no es necesariamente única, por ejemplo, al 8 lo puedo expresar como 5 + 3, pero al 14 lo puedo expresar como 11 + 3 o bien como 7 + 7.
• La hipótesis de Riemann: "La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2". Esta conjetura tiene profundas implicaciones en la distribución de los números primos y en otras cuestiones de teoría de números.

En la imagen de este texto puede apreciarse la espiral de Sacks (descubierta en 1994), una espiral de Arquímedes sobre la que se ubican los números primos para analizar patrones en su distribución. Se asemeja mucho a la espiral de Ulam (descubierta en 1963), de forma cuadrada.

         Si la suceción anterior fuese divergente, eso demostraría que hay infinita cantidad de números primos gemelos, pero en 1919 el matemático noruego Viggo Brun demostró su convergencia, hecho que tampoco implica que la cantidad de sumandos sea finita.

• La conjetura de Collatz: "Se parte de un número natural, si es par se lo divide por 2, si es impar se lo multiplica por 3 y se le suma 1; se repite el proceso hasta llegar al ciclo infinito 4, 2, 1". Por ejemplo, partiendo del número 17 se obtiene la sucesión 17, 52 , 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

          Utilizando una computadora se probó que la propiedad es cierta para cualquier número natural hasta el 2⁵⁸.

¿Qué estás esperando para demostrarlas?

Bibliografía
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