Una variable aleatoria es a una función que asigna a cada suceso de un experimento, un valor real. Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. Si el recorrido de dicha variable es contable, se dice que se trata de una variable aleatoria discreta, en caso contrario se dice que es una variable aleatoria continua.
Ejemplos de distribuciones de probabilidad discretas son las llamadas distribuciones de Bernoulli, éstas son: la distribución binomial, la distribución de Poisson y la distribución hipergeométrica.
Ejemplos de distribuciones de probabilidad continua son: la distribución normal, la distribución uniforme y la distribución exponencial negativa.
En una variable aleatoria continua:
· f es no negativo.
· El área bajo la curva de f es 1.
· La probabilidad de que X se encuentre en el intervalo [a ; b] es igual al área bajo f entre x = a y x = b.
La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana es la distribución continua que aparece con mayor frecuencia ligada a fenómenos naturales, sociales y psicológicos (alturas, pesos, coeficientes intelectuales, consumo, errores). El francés Abraham de Moivre fue el primero en estudiar esta curva en realidad, pero ese es otro tema. Su gráfica tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media geométrica. Esta curva se conoce como campana de Gauss. Su ecuación es:
Siendo μ la media aritmética y σ el desvío estándar (o desvío típico o simplemente desvío).
Aquella para la cual μ = 0 y σ = 1 se llama distribución normal estándar, y se la designa como N(0;1). Esta curva es entonces simétrica respecto de x = 0 y su ecuación es:
Esta función no se puede integrar mediante los métodos tradicionales (sustitución, por partes, etc.). Por ser una función de probabilidad, debe cumplir con lo visto anteriormente. Se toma la raíz positiva y por estar multiplicada por una exponencial, es positiva, falta demostrar que el área desde -∞ hasta +∞ debe ser igual a 1.
Esta integral da por resultado una constante a la cual llamaremos I, que es igual al área bajo la curva.
Si cambiamos el nombre de la variable, esto sigue siendo igual a I, así:
Multiplicándolas entre sí:
Por (2), por ser igual a una constante, se puede expresar a la integral de la siguiente manera:
Integrando respecto de x, se toma a la y como una constante, por lo que se puede expresar la integral de la siguiente manera:
Por ser un producto de exponentes de igual base:
Realizaremos un cambio de coordenadas de cartesianas a polares, siendo x2 + y2 = r2, o sea que:
En el siguiente gráfico se observa los diferenciales en un área de una curva polar:
La siguiente imagen muestra las variables y los diferenciales en una integral utilizando coordenadas polares:
Los límites de integración son: 0 ≤ r y 0 ≤ θ ≤ 2π
Por lo tanto, la integral a resolver es:
Esto se cancela con el coeficiente de (1), por lo que el área bajo la curva es igual a...
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