viernes, 16 de mayo de 2014

PARADOJAS Y METALENGUAJES




Más allá de lo creíble

       Una paradoja es una idea extraña, opuesta a lo que el sentido común considera como verdadero o falso. Puede tratarse de una situación hipotética que envuelve una contradicción, o incluso una simple frase a la cual no se le puede asignar un valor de verdad. El término paradoja proviene del griego paradoxus, formado por la preposición para, que significa “más allá” y la raíz doxon, que significa “opinión” o “creencia”. Es decir, para los antiguos griegos, una paradoja es algo que está más allá de lo creíble.
       Es imprescindible un correcto uso de las capacidades de abstracción de la mente para lograr una compresión de una paradoja. El objetivo de su estudio no es necesariamente que el alumno aporte ideas imaginativas y fabulosas para su resolución, sino su correcta interpretación y análisis.
       Algunas paradojas, como por ejemplo las conocidas paradojas de Zenón, han hecho que muchos pensadores realizaran estudios totalmente originales para su resolución, por lo que terminaron siendo el incentivo de grandes descubrimientos y un avance de la ciencia.
       Algo muy importante del análisis de la mayoría de las paradojas es la relación con el infinito, ya que, como veremos en muchos ejemplos, aparecen regresiones infinitas en sus proposiciones, ya que la veracidad de una termina implicando su propia falsedad y su falsedad implica su veracidad.
       Se pueden clasificar a las paradojas según su naturaleza, o según la causa de su contradicción. Diferentes autores las clasifican según diferentes categorías e incluso lo que es una paradoja para algunos, no lo es para otros. Una manera de clasificarlas es en: antinomias, antinomias de definición, dibujos paradójicos, paradojas verídicas, paradojas condicionales y paradojas específicas de un área de conocimiento. Esta es la que seguiremos en este texto, aunque es sólo una manera arbitraria de diferenciarlas y de hecho algunos de los ejemplos que veremos podrían ubicarse en más de una categoría a la vez.
       A continuación veremos una selección de las paradojas más famosas e importantes de la historia de la fundamentación de la matemática. Algunas pueden analizarse en unos pocos renglones, otras tomarían hojas o incluso libros enteros, y hay paradojas que continúan desconcertando hasta a los más brillantes, presentándonos problemas sin respuesta aparente. Sucede que la búsqueda de la verdad también es paradójica, precisamente la paradoja del conocimiento dice:
“El hombre busca respuestas y encuentra preguntas”
...

Antinomias

       Son frases autoalusivas o autorreferentes, es decir, proposiciones que de manera directa o indirecta se mencionan a sí mismas o involucran al sujeto que las está enunciando de un modo tal que no se las puede considerar verdaderas ni falsas, o bien se puede decir que son verdaderas y falsas al mismo tiempo.
       Paradoja del mentiroso: “Esta afirmación es falsa”. Si la proposición es verdadera, entonces tiene que ser falsa por lo que ella misma afirma. Si es falsa, la frase está diciendo la verdad, por lo que dejaría de ser falsa. Es una de las paradojas más conocidas, además de ser probablemente la más antigua. Tiene muchas otras versiones además de la ya analizada, una de ellas es la de un diálogo en donde Platón dice: “La próxima afirmación de Sócrates será falsa” y luego Sócrates dice: “Platón ha dicho la verdad”. Hay numerosas frases muy similares, como:
       “Nunca digas nunca.”
       “La única regla de oro es que no existen reglas de oro.”
       “Ser supersticioso trae mala suerte.”
       “Si me equivoco, el mundo se acabará en diez días.” (paradoja de Curry)
       “¿Si sólo pudieras responder con o no a esta pregunta y respondieras la verdad, tu respuesta a esta pregunta sería no?

       La siguiente es una imagen de las dos caras de una curiosa tarjeta:


       La famosa paradoja de Epiménides (n. en Creta en el siglo VI a.C.) “Todos los cretenses son mentirosos” es otra conocida versión de la paradoja del mentiroso. Quizás esta haya sido la paradoja original. Analizando bien esta versión en particular se ve que en realidad esta frase no es exactamente una paradoja, ya que tiene al menos una interpretación no paradójica: Supongamos que existe al menos UN cretense que diga la verdad, en este caso Epiménides hubiese mentido, convirtiéndolo a él en un mentiroso y a su frase en una proposición falsa, sin generar contradicción alguna.
       La lista de versiones de esta paradoja es interminable…


       Paradoja de Berry: “El menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras”. Un número cualquiera puede expresarse en palabras, el número 14 puede expresarse como “catorce” (una palabra), el número 32 puede expresarse como “treinta y dos” (tres palabras), el número 8192 puede expresarse como “ocho mil ciento noventa y dos” (seis palabras) o como “dos elevado a la trece” (cinco palabras). Algunos números naturales de mayor cantidad de cifras requieren de muchas más palabras para expresarse y, aunque utilicemos todo nuestro ingenio para expresarlo usando menos palabras a través de una descripción como en el ejemplo del número 8192, hay casos en los que es imposible utilizar menos de quince palabras. De todos los números que requieren quince o más palabras para ser expresados, existe uno que es el menor de todos ellos, llamémoslo el número α. El número α es entonces “el menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras”, pero esta frase que lo describe tiene catorce.
       Paradoja de Grelling-Nelson: Estos dos matemáticos inventaron dos palabras para crear su paradoja: autológica y heterológica. Una palabra es autológica si se describe a sí misma y es heterológica si no se describe a sí misma. La palabra esdrújula es autológica, porque esta acentuada en la antepenúltima sílaba. La palabra grave también es autológica, porque está acentuada en la anteúltima sílaba. En cambio, la palabra aguda es heterológica, ya que no es una palabra aguda por no estar acentuada en la última sílaba, es una palabra grave. Monosilábica es otro ejemplo de palabra heterológica. Las palabras singular y antigua son autológicas mientras que plural y moderna son heterológicas. La palabra palíndromo, que significa palabra o grupo de palabras que se lee igual hacia delante que hacia atrás, es heterológica. Todo marchaba bien hasta que Grelling y Nelson se hicieron la siguiente pregunta: “¿La palabra heterológica, es heterológica?”.
       Paradoja de Russell: Esta paradoja fue inventada por el filósofo, matemático y escritor galés Bertrand Russell (1872-1970). Los conjuntos tienen elementos y existen conjuntos de conjuntos, es decir, conjuntos cuyos elementos son, a su vez, otros conjuntos, pero ¿qué ocurre con “El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos”? ¿debe o no incluirse a sí mismo?
       Podemos pensar, como ejemplo, en un catálogo, el cual contiene fotos y descripciones de un tema en particular, existen catálogos de autos, de sillas, de ropa, de libros, etc. Se puede crear, también, un catálogo de catálogos, el cual es una lista de los diferentes catálogos, es decir que en él encontraremos descripto al catálogo de autos, al catálogo de sillas, etc. Si deseo crear un catálogo de todos los catálogos que existen, debería contenerse a sí mismo, porque es, en definitiva, un catálogo. ¿Qué ocurría si deseara hacer un catálogo de todos los catálogos que no se contienen a sí mismos? Este catálogo deberá incluir a todos los catálogos de autos, a los de sillas, pero ¿se debe incluir a sí mismo? Si se describe, no debería estar, porque se trataría de un catálogo que se contiene a sí mismo, si no lo hace, sería entonces un catálogo que no se contiene a sí mismo y debería incluirse.
Paradoja del barbero: Es una versión sencilla de la paradoja de Russell. En un pueblo, el barbero es el encargado de afeitar a todos aquellos que no se afeitan solos. ¿El barbero se afeita o lo afeitan?
Mientras que los hombres se clasifican en dos categorías “Los que se afeitan solos” y  “Los que no se afeitan solos”, al barbero se lo define a partir de todos los hombres del pueblo, entonces, más que preguntarnos si el barbero se afeita, deberíamos preguntarnos qué clase de hombre es el barbero, o incluso… ¿Es un hombre?


Metalenguajes

       El lógico, matemático y filósofo polaco Alfred Tarski (1902-1983) introdujo la idea de lenguaje objeto y metalenguaje. En el peldaño más bajo se encuentran los enunciados relativos a objetos, tales como “La Tierra gira alrededor del Sol”. Para hablar de la verdad o falsedad de esta frase es necesario crear un lenguaje en un nivel inmediatamente superior al anterior, el cual pasa a ser objeto de estudio de este metalenguaje. El metalenguaje engloba la totalidad del lenguaje objeto pero le permite referirse a los valores de verdad de los enunciados de este último. Un metalenguaje puede ser a la vez objeto de estudio de otro metalenguaje de orden superior y así sucesivamente, no habiendo límites en esta jerarquía de lenguajes.
       El problema en las antinomias está en el hecho de que una misma frase encierra dos niveles diferentes de lenguaje, es decir que habla de sí misma. También puede darse la paradoja en dos o más frases que están en un mismo nivel de lenguaje y hacen referencia una de las otras simultáneamente.
       El siguiente ejemplo es uno de los favoritos de Tarski:
La nieve es blanca.
La frase “La nieve es blanca” es verdadera.
       Las dos proposiciones de este conjunto son verdaderas. La primera pertenece a un lenguaje objeto de la segunda. En este ejemplo no aparece ninguna paradoja.
       En el siguiente ejemplo, donde no son ambas verdaderas, tampoco se observa una paradoja:
Dos más dos es igual a cinco.
La frase anterior tiene seis palabras.
       En ambos ejemplos la segunda frase está en un nivel de lenguaje superior al de la primera frase, ya que habla de ésta. Por estar en distintos niveles, es imposible que aparezca una paradoja. La paradoja se puede dar únicamente si las frases están en un mismo nivel de lenguaje.
       Para hablar de veracidad o falsedad de enunciados de un metalenguaje es necesario ascender hasta el siguiente peldaño de la escala, el cual tendrá como objeto de estudio todos los niveles de lenguaje inferiores a él.
       Existen metalenguajes para las ciencias. La Metamatemática es un metalenguaje. Mientras que la matemática estudia las propiedades de los números, las figuras geométricas, las funciones, las estructuras algebraicas, etc., el objeto de estudio de la metamatemática es la matemática. Cuando se hacen preguntas como ¿qué es la matemática?, ¿qué estudia la matemática? o ¿son consistentes las geometrías no euclidianas?, no se está haciendo matemática, sino metamatemática.
       Veamos un ejemplo de enunciados de distintos niveles correspondientes a la matemática:
A.  La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
B.  El enunciado A es verdadero.
C.  El enunciado B es verdadero.
D.  El enunciado C es verdadero.

       El lenguaje A enuncia un teorema relativo a objetos geométricos (es correcto si se refiere a triángulos euclidianos). Un texto de geometría que contiene demostraciones de teoremas está escrito en un metalenguaje B. Los libros que tratan de teoría de demostraciones están escritos en metalenguaje de nivel C. Raras veces es necesario ir más allá del nivel C.
       El matemático, lógico y filósofo alemán Gottlob Frege (1848-1925) escribió la obra Grundgesetze der Arithmetik (Leyes básicas de la aritmética) en la cual intentó llevar a cabo el proyecto logicista de fundamentar toda la aritmética en la lógica y en la teoría de conjuntos. Russell encontró un error en la consistencia de su sistema en 1902, precisamente la que más tarde se llamó Paradoja de Russell. Para salvar paradojas como la que él mismo inventó, Russell creó la teoría de tipos. Según esta teoría, se crea una jerarquía de tipos y luego se asigna cada entidad matemática a un tipo. Cada objeto es entonces creado por objetos de una categoría más baja, por lo que se evitan los ciclos infinitos y, por lo tanto, las paradojas.
       Respecto a la palabra esdrújula, considerando los niveles de lenguaje, no es en sí esdrújula ya que en realidad no es una palabra, sino una metapalabra, por haber sido creada para analizar a las palabras, por lo tanto se encuentra en otro nivel de lenguaje. De manera similar, es imposible que podamos contestar si el barbero se afeita o lo afeitan, ya que el barbero no es un hombre común, él se define a partir de los hombres, lo que lo convierte en un metahombre, un ser sobre el cual podemos hacernos preguntas pero no podemos responder dichas preguntas. La paradoja del barbero nos enseña, entre otras cosas, que hay cuestiones sobre las cuales no podemos encontrar respuestas por estar muy por encima de nuestra condición humana.

Dibujos paradójicos

       Los dibujos paradójicos pueden ser considerados como un caso especial de ilusión óptica, son aquellos en los que aparece una situación imposible de replicarse en la vida real. El artista más prolífico en esta cuestión ha sido el holandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972), quien dibujó, además de las manos de la carátula de este texto, los dos primeros dibujos siguientes, la escalera que siempre sube (o siembre baja) y el cubo imposible. Debajo están el triángulo de Penrose (1934), del sueco Oscar Reustersvärd y la obra La reproducción prohibida (1937) del belga René Magritte. En esta última imagen lo único que está correctamente reflejado en el espejo es un libro, el cual se cree que pudo servir como inspiración de la obra, se trata de una novela escrita por Edgar Allan Poe en 1837, exactamente 100 años antes de que Magritte realizara este dibujo imposible.


Antinomias de definición

       Estas paradojas se basan en definiciones ambiguas, sirviéndose de los significados de ciertas palabras, buscando marcar contrastes o contradicciones.
       Paradoja de sorites o del montón: “¿En qué momento un montón de granos de arena deja de serlo cuando se van quitando granos?”. En griego, sorites significa “pila” o “montón”. Se sabe que dos granos de arena no son un montón, mientras que un millón de granos sí lo son. Si n granos de arena no forman un montón, tampoco lo serán  granos. Por otro lado, si n granos son un montón, también lo serán n + 1 granos. Lo que sucede con esta paradoja, es que cualquier cantidad de granos de arena es y no es, simultáneamente, un montón.
       En la actualidad, en honor a esta paradoja, se llama sorites a una serie de proposiciones encadenadas de modo que el predicado de cada una pasa a ser sujeto de la siguiente, hasta que en la conclusión se une el sujeto de la primera con el predicado de la última.
       Otra versión es: “¿Describirías a un hombre con un pelo en la cabeza como calvo?, ¿y si tiene dos?, ¿y si tiene tres?...”
Este tipo de paradojas hace uso de la vaguedad del concepto de móntón, este término puede representar cantidades distintas dependiendo del contexto e incluso lo que para una persona puede ser un montón, no lo es para otra. Muchos filósofos opinan que el mundo es completamente preciso y que la vaguedad es un fenómeno puramente lingüístico.
       Las lógicas difusas dan solución a este tipo de paradojas; en ellas, entre lo indudablemente verdadero y lo indudablemente falso, hay una amplia gama de valores de verdad. Por ejemplo, 71 granos de arena están un poco más cerca de ser un montón que 70 granos, aunque la diferencia sea inadvertida a simple vista para nosotros. A medida que se van sacando granos, la cantidad total deja de ser un montón de manera casi imperceptible; lo mismo ocurre si se van agregando granos, no hay un punto límite en el que todos estaremos de acuerdo en donde la cantidad se convierte en un montón.
       El barco de Teseo: El legendario héroe griego tiene un barco desde hace muchos años. A medida que se va rompiendo lo va reparando, cambiando sus viejas piezas por otras iguales nuevas. Si actualmente no le queda ni una sola pieza original, ¿sigue siendo el barco de Teseo?
       Hay muchas paradojas similares a la del barco de Teseo, una conocida y divertida versión es La vieja hacha del abuelo, que habla de un hacha cuya hoja fue reemplazada ya tres veces y cuyo mango fue reemplazado cuatro veces.
       Otra antinomia de definición es la llamada Los calcetines de Locke, ésta se trata del calcetín preferido de su autor, el filósofo John Locke, quien reflexiona si éste aún era el mismo luego de que se aplicara un parche en él. Si así era, ¿seguiría siendo el mismo después de que se le aplicara un segundo parche?, ¿podría, en efecto, seguir siendo el mismo calcetín varios años después, incluso después de que todo el material del calcetín fuera reemplazado por parches?
       Es similar la llamada El río de Heráclito: "Ningún hombre puede cruzar dos veces el mismo río, pues la segunda vez el río no será el mismo, como tampoco lo será el hombre", frase paradójica que lleva el nombre del gran sabio de Efeso (por más que renegara de sus conciudadanos, esa fue su ciudad de origen). Heráclito (535-475 a.C.) sostenía que el continuo devenir hace que sea imposible realizar dos veces una misma tarea y lo plasmó en esta famosa antinomia de definición. El Oscuro fue malinterpretado por muchos de sus contemporáneos, sin embargo últimamente sus ideas han sido revividas por filósofos como Friedrich Nietzsche y Martin Heidegger, científicos como Edward Lorenz y René Thom, y escritores como Jorge Luis Borges y Julio Cortázar.
       El venerable y temible Parménides (530-450 a.C. aproximadamente) decía que debajo de las subjetividades que nos brindan los sentidos se esconde la esencia de las cosas. Siglos después, Aristóteles (384-322 a.C.) desarrolló la estructuración del ser en Substancia (del ser en sí) y sus nueve accidentes: Cantidad, Cualidad, Relación, Lugar, Tiempo, Posición, Posesión, Acción y Pasión. Esta estructura hace frente a este tipo de paradojas diciendo que un objeto tiene varias características que lo hacen ser lo que es, y que los cambios que sufre a lo largo del tiempo no lo hacen perder su esencia. El barco de Teseo, por ejemplo, cumple con un conjunto de cualidades que lo hacen ser “el barco de Teseo”: es un barco, su dueño es Teseo, suele navegar por los mismos lugares, tiene una medida y un peso determinado, está formado por ciertos materiales, fue construido por un cierto equipo de carpinteros utilizando madera de un cierto bosque y con unas ciertas herramientas… Considerando que sólo ha cambiado el material del barco, éste, según el eléata y el estagirita, sigue siendo el barco de Teseo. La mayoría de nosotros pensamos lo mismo, es una simple cuestión de sentido común, si bien las cosas cambian, hay ciertas cuestiones que permanecen, por lo que seguimos hablando de lo mismo a pesar del paso del tiempo y el devenir, pero… ¿qué ocurriría si con las piezas que se le fueron sacando a la embarcación del héroe se hubiese ido construyendo un segundo barco? En el momento en que ambos estén listos para zarpar, ¿cuál de los dos sería el barco de Teseo?

Paradojas verídicas

       Son resultados que tal vez aparentan ser absurdos por contradecir el sentido común de intuición, pero cuya veracidad es demostrable. A esta categoría pertenecen muchas paradojas matemáticas. La rama de la matemática en la que aparecen más situaciones con resultados no intuitivos es, para muchos, el cálculo de probabilidades.
       Paradoja de la banda esférica: Supongamos que una banda de acero abraza fuertemente al planeta Tierra (considerémoslo una esfera perfecta de diámetro igual a 12.700 km). Si le agregáramos 100 km más a esta banda, ya no estaría tan ajustada. ¿Cuánto se separará del planeta la banda ahora?, ¿unos pocos metros tal vez? Realizando unos sencillos cálculos se observa que la banda se separa casi 16 kilómetros de la superficie terrestre.
       Paradoja de Galileo: Por cada número cuadrado hay un número natural. Galileo Galilei (1564-1642) estableció una correspondencia biunívoca entre conjuntos infinitos unos tres siglos antes de que lo hiciera el descubridor de los transfinitos, Georg Cantor (1845-1918).
       Paradoja de Bertrand: En un saco hay 3 monedas. Una es de oro, otra es de plata y la tercera tiene una cara de oro y otra de plata. Se saca una moneda y se la apoya en una mesa, de forma tal que no se ve la cara de abajo, pero quedando a la vista una cara que es de oro. ¿Cuál es la posibilidad de que la cara de abajo sea también de oro? La primera idea que a la mayoría de la gente se le ocurre es incorrecta: es obvio que la moneda extraída no es la de plata, puede ser la de oro o la de oro-plata, por lo que hay un 50% de posibilidades de que sea de oro. La verdad es que las posibilidades de que sea de oro es superior, ya que hay tres casos posibles: que sea una de las caras de la moneda oro-oro, que sea la segunda cara de la moneda oro-oro, o que sea la cara de oro de la moneda oro-plata. Es decir que hay 2/3 de posibilidades de que la cara de abajo sea de oro y 1/3 de que sea de plata.
       Paradoja de Monty Hall: Un concursante en un programa de televisión debe elegir una de tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas se encuentra el premio, un auto, detrás de las otras hay cabras. El concursante elige una puerta y lo anuncia al público. Luego, Monty (el presentador del programa), quien sabe dónde está el auto, abrirá una de las otras dos y mostrará que hay una cabra. Si se le da la opción al concursante de cambiar de puerta, ¿le conviene cambiar o mantener su elección original? ¿Hay alguna diferencia?
       Al elegir por primera vez, la probabilidad de ganar el premio es de 1/3, pero al abrir una de las otras dos puertas, la situación cambia. Si pensaste que luego de mostrar una de las cabras era tan factible ganar como perder, piensa de nuevo. No te sientas mal, hiciste justamente lo que la común intuición indica. Al elegir una de las puertas, la probabilidad de que el auto esté en cualquiera de ellas es de 1/3, es decir, si elijo, por ejemplo, la puerta 1, mi probabilidad de ganar es de 1/3 y mi probabilidad de perder es de 2/3. El conductor del programa siempre podrá abrir una de las otras dos puertas y mostrar una cabra, ya que, si elegí bien, quedarán dos cabras en las otras dos puertas, si elegí mal, habrá una cabra y un auto en las puertas 2 y 3. Las puertas 2 y 3 tienen 2/3 de probabilidades de contener el auto, el hecho de que el conductor abra una de ellas no modifica esto y, por lo tanto, la puerta que no abrió tiene una probabilidad de 2/3 de ser la ganadora, ya que la puerta 1 (la que elegí originalmente) sigue teniendo 1/3 de probabilidades de ocultar el auto.
       Si aún no te convenciste, podés hacer una lista de las posibles ubicaciones del auto y las posibles elecciones de un participante (9 casos en total), luego fijate si habría convenido cambiar o no en cada uno de ellos.
       Otra forma de verlo es replantear el problema. Si en lugar de haber sólo tres puertas hubiese 100 y tras la elección original el presentador abriese 98 de las restantes revelando 98 cabras, si el concursante no cambiase su elección ganaría el auto sólo si lo ha escogido originalmente (1 de cada 100 veces), mientras que si la cambia, ganaría si no lo ha escogido originalmente, es decir, 99 de cada 100 veces.
       Paradoja del cumpleaños: Si hay 23 personas reunidas, la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día es de un 50,7%. Para 60 personas la probabilidad es mayor al 99%. El truco es calcular la probabilidad de que n cumpleaños sean diferentes, probabilidad dada por:


       Para hallar la probabilidad de que haya al menos una coincidencia se debe restar este resultado a 1. En un grupo de 367 personas (considerando los años bisiestos) es seguro que habrá al menos dos que cumplen años el mismo día. Se obtiene así una función de dominio natural con máximo en , cuya imagen va de 0 a 1:


Paradojas condicionales

       Son situaciones en las cuales se hacen ciertas suposiciones que demuestran que algunas cosas son imposibles o incompletas.
Paradoja de la serpiente: ¿Qué pasaría si una serpiente comienza a comer su cola y acaba comiéndose toda?, ¿dónde estaría la serpiente si está dentro de su estómago que a su vez está dentro de ella?, ¿qué ocurriría si una serpiente comienza a comer a otra por la cola al mismo tiempo que la segunda serpiente hace lo mismo con la primera?

       Paradoja del viaje en el tiempo o paradoja del abuelo: ¿Qué pasaría si yo viajara en el tiempo y mato a mi abuelo antes de que él conozca a mi abuela?
       Paradoja de Protágoras o del abogado: Cuenta la leyenda que el famoso sofista griego Protágoras de Abdera (485-411 a.C. aproximadamente), hizo un contrato con su alumno Evatlo en donde acordaban que este último le pagaría las clases únicamente si ganase su primer caso. El alumno nunca participó de un juicio hasta que un día su maestro lo demandó. Si el joven ganara el juicio, por ley no debería pagarle a su tutor, pero por contrato debería hacerlo. Si perdiera el juicio, debería pagarle por orden del tribunal, pero no por contrato.
       Paradoja de la fuerza irresistible: ¿Qué pasaría si una fuerza irresistible chocase con un objeto inamovible? Se concluye que estos dos objetos no pueden coexistir en un mismo tiempo y en un mismo universo.
       Paradoja de la omnipotencia: Un dios omnipotente (que posee un poder sin límites) debería poder crear cualquier cosa que se proponga, por ejemplo, puede crear piedras. Debe poder crear piedras tan grandes como él quisiera, incluso una tan grande que ni siquiera él pueda mover, pero si existe un objeto que no puede mover, entonces no es omnipotente.
       Paradojas humorísticas: Existen frases o situaciones en donde se genera una condición que hace un círculo vicioso ridículo (algunas veces con motivo de hacer reír, otras personas lo hacen sin querer). El actor y humorista estadounidense conocido como Groucho Marx solía hacer chistes con juegos de palabras. Muchas de sus citas podrían considerarse paradójicas; algunas de ellas son: “Encuentro a la televisión muy educativa, cada vez que alguien la enciende me voy a la habitación de al lado a leer un libro”, “Jamás pertenecería a un club que admitiera como socio a alguien como yo”. Otros ejemplos son la del escritor alemán Berthold Brecht: “Un hombre debe tener por lo menos dos vicios, uno solo es demasiado”, la del dramaturgo francés Voltaire: “Proclamo en voz alta la libertad de pensamiento y muera el que no piense como yo” y la del escritor Mark Twain: “La fe consiste en creer aquello que sabes que es falso”.
       Muchos carteles pueden ser considerados paradojas condicionales, como uno que diga “Cierre la puerta antes de entrar”, “Prohibido prohibir” o el siguiente:


       Paradoja del condenado: A un preso sentenciado a muerte le piden que adivine de qué lo van a matar. Si adivina, lo matarán en la horca, si no lo hace, lo matarán en la silla eléctrica. ¿Qué puede decir el preso para confundir a sus verdugos?
       En este tipo de paradojas suele haber una alusión a sus propios principios, por lo que terminan siendo similares a las antinomias, pero de una manera indirecta.

Paradojas específicas de un área de conocimiento

       Algunas paradojas no se pueden comprender si uno no tiene conocimientos específicos sobre algún área en particular. Por supuesto, algunas paradojas corresponden a más de una categoría, ya que toda esta clasificación es arbitraria.
       Paradojas de Zenón: Las famosas paradojas que Zenón de Elea (490-430 a.C.) inventó para defender las ideas de su maestro Parménides han ayudado a desarrollar cuestiones matemáticas como límite, infinito, continuidad y el concepto de función.

v  La Dicotomía: Es imposible recorrer una distancia dada. Para recorrerla, debe recorrerse primero la mitad de la distancia, luego, la mitad de la distancia restante; luego, otra vez, la mitad de la que queda y así sucesivamente. Se deduce que siempre queda alguna parte de la distancia sin recorrer y, por lo tanto, el movimiento es imposible. Las distancias sucesivas a recorrer forman una serie geométrica infinita:


Cada uno de los términos es la mitad del que lo precede. Por más que alguien dedicara toda su vida a sumar los términos de la sucesión, nunca llegaría a sumar 1.
Se puede plantear la paradoja al revés, es decir, para recorrer una distancia debo recorrer primero la mitad de ella, para recorrer esta mitad debo recorrer la mitad de esta mitad y así sucesivamente, por lo tanto es imposible siquiera partir del lugar en donde estoy.
Operando con límites se observa que cuando la cantidad de términos tiende a infinito, la suma es igual a 1.

v  Aquiles y la tortuga: En una carrera entre ellos, el héroe le deja una ventaja a su lenta contrincante. Para ganarle debe primero alcanzar el lugar de donde ella partió, pero al lograrlo la tortuga ya ha salido y ha recorrido algo de camino. Cuando Aquiles llegue a esa nueva ubicación, la tortuga habrá avanzado un poco más. Aunque Aquiles parezca estar cada vez más cerca, la comedia se repite indefinidamente, siempre que llegue al lugar en donde estaba la tortuga, ésta se habrá movido y, por lo tanto, ganará la carrera.
Es como ir en un caballo de un carrusel y querer alcanzar al jinete que va adelante.
       Hallando la intersección de las funciones que representan los recorridos de Aquiles y de la tortuga, ya sea como un sistema de ecuaciones o sobre un par de ejes cartesianos, se puede ver fácilmente el momento y el lugar exacto en donde Aquiles y la tortuga se encuentran en un mismo lugar, a partir de ese momento Aquiles liderará la carrera.

v  La flecha: Se lanza una flecha. En cada momento de tiempo, la misma estará en una posición específica y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tendrá tiempo de moverse, por lo que está en reposo durante ese instante. Durante los siguientes períodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo.
Los griegos no tenían el concepto de función, por lo que no podían plantear este problema como el simple hecho de que a cada valor de tiempo le corresponde un único lugar en todo el recorrido de la flecha ni mucho menos el de límite, por lo que no consideraban que un tiempo o un espacio determinado pueden dividirse en una cantidad infinita de fracciones.

v  El estadio: Dos filas de soldados (Y Y Y Y y Z Z Z Z) parten de los extremos de un estadio en dirección al centro (la tribuna formada por X X X X) a la misma velocidad.


       En el tiempo que el primer soldado Y recorrió un espacio igual a dos X, el primer soldado Z recorrió los espacios de los cuatro soldados Y.  Dado que los tamaños de X, Y y Z son iguales, se concluye que la velocidad de los soldados Z es el doble que la de los soldados Y, contradiciendo la hipótesis de que la velocidad es la misma.
       Lo que ocurre es que, en realidad, la velocidad es una medida relativa.
       Los cuervos de Hempel: Esta es una paradoja lógica, si bien todas las paradojas lo son, esta es específicamente acerca del razonamiento lógico. Hempel da un principio de inducción, propone como teoría “todos los cuervos son negros”, mientras más cuervos negros observemos, más fuerte será nuestra creencia en esta teoría. La afirmación “todos los cuervos son negros” es equivalente, en lógica, a decir “todas las cosas no-negras son no-cuervos” (por ser el contrarrecíproco), por lo tanto, si observamos una manzana roja, es consistente con esta segunda afirmación. Una manzana es una cosa no-negra y, cuando la observamos, vemos que es no-cuervo, por el principio de inducción, entonces el observar una manzana roja debe incrementar nuestra confianza en que todos los cuervos son negros.

El gato de Schrödinger: Es un experimento imaginario inventado por el físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961) que consiste en una caja cerrada que contiene un gato, una botella con un gas venenoso y un dispositivo que tiene una probabilidad aleatoria del 50% de abrir la botella y matar al felino. Hasta el momento de abrirse la caja es imposible saber si el gato está vivo o muerto, por lo tanto, según los principios de la mecánica cuántica, el gato está en dos estados superpuestos “vivo” y “muerto” al mismo tiempo.

       El cuerno de Gabriel o la trompeta de Torricelli: Se trata de una figura geométrica que tiene la característica de poseer una superficie infinita pero un volumen finito. Esta paradoja fue inventada por el físico y matemático italiano Evangelista Torricelli (1608-1647).

       Se desea pintar la superficie de esta trompeta. Suponiendo una superficie y una pintura sin grosor, será necesaria una cantidad infinita de pintura para pintar, ya sea su superficie exterior o interior, sin embargo, se puede volcar una cantidad finita de pintura dentro del cuerno y así cubrir todo su interior.
       Paradoja de Richard: Fue creada por el matemático francés Jules Richard en el año 1905. La paradoja considera al conjunto de todos los números que pueden definirse utilizando un número finito de palabras. Fácilmente puede observarse que este conjunto es numerable, ya que estas definiciones pueden ordenarse lexicográficamente y numerarse los números decimales definidos en una lista. Ahora procedemos de la misma manera que la demostración diagonal de Cantor, definiendo al número cuya n-ésima cifra decimal se reemplaza por la cifra al n-ésimo decial del n-ésimo número de la lista (cuando p no es igual a 8 o a 9, en caso contrario se la reemplaza por la cifra 1 para evitar problemas con casos particulares.
       Este número decimal no está contenido en la lista original, ya que se diferencia de cada elemento de la misma en al menos un decimal, en efecto, del n-ésimo número decimal en la n-ésima posición. Sin embargo ha sido definida por medio del párrafo anterior, empleando un número finito de palabras, por lo que pertenece al conjunto de todos los números decimales finitamente definibles.
       Kurt Gödel (1906-1978) se refirió más tarde a la paradoja de Richard, señalando que su teorema de la indecibilidad era un análogo a ella.
El hotel infinito: David Hilbert (1862-1943) inventó esta paradoja. Se trata del hotel más grande del mundo, de hecho, tiene infinitas habitaciones, por lo que siempre tiene lugar para nuevos clientes. ¿Qué ocurre si en algún momento estuviese lleno? No habría ningún problema, dice Hilbert. Supongamos que llega una persona en busca de una habitación, el gerente del hotel pediría a todos los huéspedes que se cambiaran a la habitación siguiente, es decir, el que está en la 1 pasa a la habitación 2, el que está en la 2 pasa a la habitación 3, etc. De esta manera quedará libre la habitación número 1. Efectivamente, infinito más uno es igual a infinito. Supongamos que llegan 100 personas para hospedarse en el hotel, el gerente sólo tiene que pedirles a los huéspedes que le sumen 100 al número de su habitación y el número obtenido es el número de su nueva habitación. En este caso se puede verificar que infinito más 100 es igual a infinito. Pero, ¿qué ocurriría en el caso de que infinitos huéspedes llegasen al hotel en busca de infinitas habitaciones? En este aparente difícil caso, el gerente tampoco se haría ningún problema, sólo debe pedirles a los huéspedes que vayan a la habitación de número igual al doble de la que se encuentran actualmente, de esa manera ocuparán todas las habitaciones pares, dejando las habitaciones impares libres para los recién llegados. Tal y como lo demostró Georg Cantor, el conjunto de los pares, el de los impares y el de los naturales, son todos conjuntos de cardinal igual a 0, todos sabemos que si se suman los pares y los impares se obtienen los naturales; observamos así un ejemplo de la suma  0  0  = 0.

       ¿Qué cosas ocurren en este hotel? Más allá de lo que nos diga   nuestra intuición, le acabamos de quitar elementos a un conjunto y éste siguió teniendo la misma cantidad de elementos, vimos como un conjunto y un subconjunto pueden tener el mismo cardinal, un valor no nulo es igual al doble de sí mismo… cosas del álgebra transfinita.
       La paradoja de los dos sobres: Hay dos sobres de los cuales uno tiene el doble de dinero que el otro. Si tomo uno y otra persona toma el otro y antes de abrirlo me ofrecen cambiar mi elección, puedo pensar lo siguiente: “En este sobre hay x cantidad de dinero, si en el otro hay 2x y cambio, gano x, en cambio si en el otro hay 0,5x y cambio, pierdo 0,5x, es decir que la cantidad que ganaría sería el doble que la cantidad que perdería, por lo que me conviene cambiar de sobre”. El problema radica en que la otra persona puede seguir el mismo razonamiento y nos conviene cambiar de sobres indefinidamente.
       El dilema del prisionero: Es un problema fundamental de la teoría de juegos, fue desarrollado por Merrill M. Flood y Melvin Dresher en 1950. Se trata de una situación en la que dos sospechosos son arrestados y, por separado, les ofrecen un trato par que confiesen su crimen. Si ambos confiesan, se los condenará a 6 años de cárcel a cada uno, si uno confiesa y el otro no, al que confesó lo dejarán libre y al otro le darán 10 años de cárcel, y si ninguno confiesa, por falta de evidencias los tendrán 1 año preso a cada uno. Se puede resumir los casos en un cuadro o en una matriz:



       Está claro que trabajando en equipo pasarían 1 año en la cárcel cada uno, obteniendo el máximo beneficio mutuo pero, por buscar lo más conveniente individualmente, lo más probable es que ambos confiesen y terminen 6 años en la cárcel, sumando 12 años, que es la máxima cantidad en total.
       Este tipo de problemas ayudó a comprender muchas situaciones en la vida real en las cuales la gente, por buscar su propio beneficio, termina perjudicándose, cuando si se hubiese buscado lo mejor para todo el grupo, el resultado habría sido mucho mejor.

       Las paradojas están entre los problemas más atractivos e instructivos. Probablemente gran parte de su atractivo se deba a la contradicción inesperada de que surjan tantas de ellas precisamente en la matemática, modelo de ciencia exacta y reino de la razón más pura. Puesto en palabras de Kasner y Newman:

“Quizás la mayor de todas las paradojas es que haya paradojas en matemática”.

¿Para qué sirven las paradojas?

A pesar de que las paradojas suelen aparecer como curiosidades, casi como juegos separados de toda aplicación, son muy importantes en las ciencias y en la educación:

Ø  Las paradojas específicas de un área de conocimiento se basan en pequeños errores o ambigüedades que aparecen en la ciencia. La falta de rigor suele llevar a enunciados a los que se les puede asignar valor de verdad o falsedad. La paradoja aparece entonces como una crítica constructiva, que ayuda al desarrollo de la ciencia, la cual deberá trabajar más en su fundamentación y rigor para poder salvar la falla encontrada.

Ø  Muchas demostraciones (sobre todo las que se realizan en forma indirecta) utilizan planteos similares al de una paradoja, que llevan a situaciones imposibles.

Ø  Las paradojas, en su totalidad, requieren de un gran nivel de abstracción y una comprensión del infinito. Para poder interpretar una paradoja no siempre puedo seguir un razonamiento con lápiz y papel, o ejemplificar utilizando situaciones reales u objetos materiales, éstas existen únicamente en nuestra imaginación, en situaciones fantásticas, que sólo pueden ser comprendidas a través de un gran esfuerzo intelectual, que supone una comprensión de saberes previos y trae consigo un desarrollo del pensamiento lógico-deductivo. Cuando presentamos una paradoja a alguien con fines didácticos, nuestro éxito no dependerá de que aquella persona encuentre la falla en la misma ni que la logre relacionar con otras; habremos logrado nuestro objetivo si la persona la pudo entender, llegando entonces a un conflicto cognitivo. Las paradojas nos enseñan a pensar, a seguir una cadena de razonamientos lógicos.

Ø  El metalenguaje desarrollado para “salvar” las antinomias dictamina los límites cognoscitivos del ser humano. Formamos parte del mundo que nos rodea y a veces nos resulta imposible comprender el por qué de ciertas cosas (el lector puede atribuirlas a la naturaleza, el destino o a la deidad que le plazca). ¡Pero a no desesperar!, bien es sabido que el hombre se hace preguntas que no tienen respuestas, pero justamente en muchas de las preguntas más profundas y más humanas que nos hacemos lo que importa no es la respuesta sino la pregunta en sí. El grado de conocimiento de una sociedad no se mide sólo por sus respuestas, sino también por sus preguntas.

Bibliografía

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ü      Clark, M. (2009). El gran libro de las paradojas. Madrid, España. Editorial Gredos.



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