domingo, 1 de julio de 2018

EL MILÁGRO GRIEGO: HIPATIA




  “Más vale correr el riesgo de equivocarse que cometer el pecado de no pensar” 

                                                                          Hipatia 



Nació en Alejandría (hoy Egipto) en el 355 de nuestra era y falleció alrededor del 415. 

Su padre, Teón de Alejandría, fue un matemático y astrónomo muy respetado en su época. Así, Hipatia se educó en un ambiente académico y culto, aprendiendo matemática y astronomía de su padre. Hipatia también estudió filosofía, oratoria, y aprendió sobre la historia de las diferentes religiones que se conocían en aquel entonces. Viajó a Atenas y a Roma siempre con el mismo afán de aprender y de enseñar. 

Dirigió la escuela neoplatónica de Alejandría, y muchos sabios viajaban desde lejos para escuchar sus enseñanzas. Es considerada el número uno entre los matemáticos de su época. No se conservan escritos suyos, pero escribió comentarios sobre obras de Ptolomeo, Apolonio y Diofanto, y es probable que hoy estén incluidos en estos escritos tras las traducciones. 

Su pensamiento era lógico y odiaba el misticismo, dedicó su vida a las ciencias y nunca se casó, a pesar de contar con muchas propuestas para ello. Murió atacada violentamente por un grupo de cristianos, en medio de las luchas políticas entre el patriarcado alejandrino y el poder imperial. Algunos culpan al Patriarca Cirilo de Alejandría de su muerte. Estas cuestiones convirtieron a Hipatia en un ícono del feminismo y de la tolerancia, en un mártir de la ciencia y en símbolo de la decadencia del mundo clásico frente al cristianismo y la irracionalidad. 

Se ha asociado la muerte de Hipatia con la destrucción de la Biblioteca de Alejandría. La Gran Biblioteca desapareció en un momento incierto del siglo III, probablemente en el 391. Luego de destruida la biblioteca Hipatia continuó enseñando en su propia casa. 

En su honor se llamó Hipatia a la organización mundial, popular y democrática que promueve la adopción de políticas públicas, junto a conductas humanas y sociales que favorezcan la libre disponibilidad, sustentabilidad y socialización de la tecnología y el conocimiento, su uso solidario y la viabilidad del modelo económico y social que la construya en términos de igualdad e inclusión de todos los seres humanos del mundo.


ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL

Una variable aleatoria es a una función que asigna a cada suceso de un experimento, un valor real. Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. Si el recorrido de dicha variable es contable, se dice que se trata de una variable aleatoria discreta, en caso contrario se dice que es una variable aleatoria continua.
Ejemplos de distribuciones de probabilidad discretas son las llamadas distribuciones de Bernoulli, éstas son: la distribución binomial, la distribución de Poisson y la distribución hipergeométrica.
Ejemplos de distribuciones de probabilidad continua son: la distribución normal, la distribución uniforme y la distribución exponencial negativa.
En una variable aleatoria continua:
·         f es no negativo.
·         El área bajo la curva de f es 1.
·         La probabilidad de que X se encuentre en el intervalo [a ; b] es igual al área bajo f entre  a   x = b.

La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana es la distribución continua que aparece con mayor frecuencia ligada a fenómenos naturales, sociales y psicológicos (alturas, pesos, coeficientes intelectuales, consumo, errores). El francés Abraham de Moivre fue el primero en estudiar esta curva en realidad, pero ese es otro tema. Su gráfica tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media geométrica. Esta curva se conoce como campana de Gauss. Su ecuación es:


Siendo μ la media aritmética y σ el desvío estándar (o desvío típico o simplemente desvío).
Aquella para la cual μ = 0  y  σ = 1 se llama distribución normal estándar, y se la designa como N(0;1). Esta curva es entonces simétrica respecto de 0 y su ecuación es:


Esta función no se puede integrar mediante los métodos tradicionales (sustitución, por partes, etc.). Por ser una función de probabilidad, debe cumplir con lo visto anteriormente. Se toma la raíz positiva y por estar multiplicada por una exponencial, es positiva, falta demostrar que el área desde - hasta + debe ser igual a 1.
Esta integral da por resultado una constante a la cual llamaremos I, que es igual al área bajo la curva.
Si cambiamos el nombre de la variable, esto sigue siendo igual a I, así:
Multiplicándolas entre sí:
Por (2), por ser igual a una constante, se puede expresar a la integral de la siguiente manera:
Integrando respecto de x, se toma a la y como una constante, por lo que se puede expresar la integral de la siguiente manera:
Por ser un producto de exponentes de igual base:
Realizaremos un cambio de coordenadas de cartesianas a polares, siendo x2 + y2 = r2, o sea que:
En el siguiente gráfico se observa los diferenciales en un área de una curva polar:
La siguiente imagen muestra las variables y los diferenciales en una integral utilizando coordenadas polares:

Los límites de integración son: 0 ≤ r  y  0 ≤ θ ≤ 2π

Por lo tanto, la integral a resolver es:









Esto se cancela con el coeficiente de (1), por lo que el área bajo la curva es igual a...