PEQUEÑA BIOGRAFÍA
Claudio Ptolomeo nació en Egipto en el año 90
de nuestra era y falleció en el 168.
Fue un matemático, astrónomo, músico, químico y geógrafo griego.
Construyó varios aparatos astronómicos y fue defensor de la teoría geocéntrica, su trabajo difirió del de sus anteriores en que él era un empirista, con lo que obtuvo un modelo que lograba explicar las posiciones de los planetas en el pasado y predecir sus posiciones en el futuro utililzando órbitas que contienen epiciclos y deferentes (el epiciclo es una circunferencia pequeña cuyo centro se mueve en una grande llamada deferente).
En su obra “Óptica” exploró las propiedades de la luz, principalmente la refracción y la reflexión.
Demostró numerosos teoremas trigonométricos trabajando con el sistema sexagesimal de ángulos.
Construyó varios aparatos astronómicos y fue defensor de la teoría geocéntrica, su trabajo difirió del de sus anteriores en que él era un empirista, con lo que obtuvo un modelo que lograba explicar las posiciones de los planetas en el pasado y predecir sus posiciones en el futuro utililzando órbitas que contienen epiciclos y deferentes (el epiciclo es una circunferencia pequeña cuyo centro se mueve en una grande llamada deferente).
En su obra “Óptica” exploró las propiedades de la luz, principalmente la refracción y la reflexión.
Demostró numerosos teoremas trigonométricos trabajando con el sistema sexagesimal de ángulos.
AHORA SÍ: EL TEOREMA DE
PTOLOMEO
En todo cuadrilátero ABCD inscriptible en una
circunferencia, la suma de los productos de sus lados opuestos es igual al
producto de sus diagonales:
Una de las tantas demostraciones de este bello teorema es
la siguiente:
Se recurre a un punto auxiliar que llamaremos E, y que tiene
las siguientes propiedades:
a) E pertenece al segmento BD.
b) El ángulo BAC es igual al ángulo
DAE.
De
acuerdo a esta construcción, se verifica que los triángulos DAE y ABC son
semejantes, de donde:
De las dos igualdades, y del hecho que BE + ED = BD, obtenemos que:
AB . CD + BC . AD = AC . BD
Que es lo que se quería demostrar.
El recíproco de este teorema también es verdadero (si un cuadrilátero cumple con la igualdad es porque el cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia).
UN CASO PARTICULAR
En el caso de que ABCD se trata de un rectángulo, la fórmula anterior se convierte en el Teorema de Pitágoras:
AB2 + BC2 = AC2
Esto significa que el teorema de Pitágoras es un caso particular del de Ptolomeo o, lo que es lo mismo, el teorema de Ptolomeo es una generalización del teorema de Pitágoras.
NOTA: El teorema de Pitágoras tiene muchas generalizaciones, una muy conocida es el teorema del coseno, otra es un teorema del árabe Tabit Qurra.
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