“Si
Dios alguna vez hizo geometría, con toda seguridad recurrió a Euclides para
conocer las reglas”
Edward Kasner y James Newman
Nació alrededor del 325 a.C., en Alejandría, Egipto. Después de la
muerte de Alejandro Magno (en el 323 a.C.) varios generales se repartieron el
poder sobre las tierras conocidas. Uno de ellos, Ptolomeo I, estableció una
dinastía que habría de reinar en Egipto durante tres siglos. Transformó a su
capital, Alejandría, en el centro intelectual más grande de la antigüedad, y
uno de los primeros talentos que trabajó allí fue Euclides. Muy poco se sabe
sobre su vida privada y se han perdido al menos la mitad de sus obras. Sus
cinco obras que sobreviven son: Elementos, Los Datos, La División de Figuras, Los Fenómenos y La Óptica.
El libro más importante y de mayor influencia
fue claramente Elementos. Si bien la mayoría de los conocimientos y
demostraciones que aparecen en la obra son de otros autores, la selección, el
ordenamiento y sobre todo la sistematización, son propios de Euclides.
Este primer sistema axiomático de la historia terminó convirtiendo a la
geometría en el modelo de ciencia durante los siguientes dos mil años. Mediante
una reducción atomista, partiendo de pequeñas verdades, la obra se construye con
un orden y rigor impecables, conteniendo un total de 465 proposiciones (lo que
hoy dividiríamos en teoremas y en construcciones), éstas son verdades
fundamentadas utilizando la lógica aristotélica, 5 axiomas (o nociones comunes)
y 5 postulados. Sus axiomas y postulados son verdades consideradas evidentes
cuya demostración no es necesaria, ya que, según él, cualquier individuo tiene
la capacidad de darse cuenta que son verdaderas. En 1482,
en Venecia, se realizó su primera impresión, siendo uno de los primeros libros
en imprimirse y, desde entonces, ha tenido más de mil ediciones. Su importancia
científica se mantuvo indiscutida el siglo XIX, y su valor didáctico se mantuvo
hasta comienzos del siglo XX, cuando aún algunas escuelas lo utilizaban como
texto escolar sin que se le
hicieran correcciones de importancia.
En Elementos se evidencia la influencia
platónica de Euclides. En ella no figuran aplicaciones prácticas ni ejemplos
numéricos. No obstante tres libros se ocupan de aritmética, en ellos los números
aparecen disfrazados de segmentos, y las propiedades numéricas se demuestran
operando con esos segmentos. Si bien no menciona ningún instrumento geométrico,
se dice que no admite sino construcciones con regla y compás porque aquellas
que realiza son a partir de segmentos de rectas y circunferencias. Otro rasgo
platónico es la importancia asignada a los poliedros regulares, a los que
dedica íntegramente el último libro, como culminando la obra. En sus definiciones se percibe el carácter finito
de las rectas y superficies, ya que, si bien los griegos de la época de
Euclides eran conscientes de la existencia del infinito, no operaban con él,
sino que lo consideraban en el devenir.
La obra no sólo trata
de geometría, sino de otros contenidos matemáticos de su época. Los cuatro primeros libros desarrollan la teoría elemental de la
geometría plana y álgebra geométrica. Tratan el estudio de triángulos, ángulos,
áreas, álgebra geométrica, circunferencias, figuras inscriptas y
circunscriptas. Los libros V y VI contienen la teoría generalizada de la proporción. Los libros VII, VIII y
IX tratan sobre aritmética, estudian los números primos, llegando incluso a
demostrar que son infinitos, trata sobre progresiones, múltiplos, números
pares, impares y sus relaciones. El libro X, denominado por algunos como “La cruz de los matemáticos”,
se dedica al estudio de segmentos inconmensurables (los números irracionales). Los últimos tres libros,
XI, XII y XIII, se dedican a la geometría del espacio; el último se trata
exclusivamente de los sólidos platónicos.
Más tarde se agregaron dos libros más a la obra. El llamado
Libro XIV se debe a Hipsicles de Alejandría, del siglo II a.C., el cual agrega
nuevas propiedades de los cuerpos regulares. Mucho más tarde, en el siglo V, se
agregó un nuevo volumen de características muy inferiores al anterior; uno de
sus autores fue Damascio, el último jefe de La Academia.
Si bien su obra es en gran medida sobre las construcciones
con regla y compás, en ella no se menciona nada acerca de lo que no se puede
construir con estas herramientas, como ocurre con los tres problemas clásicos
griegos. En el libro IV, por ejemplo, Euclides inscribe en una circunferencia polígonos
regulares de 4, 5, 6 y 15 lados, pero no hace alusión (no dice que se pueden ni
que no se pueden inscribir) a los polígonos de 7, 9, 11 y 13 lados.
Algunos creen que Euclides era el jefe de un
equipo de matemáticos y entre todos escribieron Elementos; otros dicen que es
un seudónimo y que en realidad la obra fue escrita por varios sabios (tal vez
uno fue Platón o Teeteto), y hasta podría considerarse una obra en gran medida
filosófica, en el sentido de que enseña a demostrar como herramienta para la
dialéctica, usando a la matemática por ser la ciencia más fecunda para esta función.
Según la leyenda, el rey Ptolomeo le preguntó un día a Euclides
si no podía hacer que sus demostraciones fueran un poco más fáciles de seguir,
a lo que él respondió:
“En geometría no existe ningún
camino especial para los reyes”.
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