EL MILAGRO GRIEGO: ARQUÍMEDES DE SIRACUSA

“Denme un punto de apoyo y les levantaré el mundo”

Arquímedes

      Nació en el 287 a.C. en Siracusa, Sicilia. Estudió en Alejandría, volviendo enseguida a su patria. Falleció en el 212 a.C. Fue hijo de Fidias, un astrónomo que estaba de alguna manera emparentado con el rey Hierón II[1] de Siracusa, parentesco le permitió gozar de un buen nivel económico por lo que pudo dedicarse sin otras preocupaciones al estudio de la matemática pura. Con Arquímedes la matemática griega llega a su apogeo y fue sin duda uno de las mentes más brillantes de todos los tiempos.

    En su obra demuestra una mayor flexibilidad que torna más maleable el rígido molde euclídeo, confiriéndole mayor riqueza y autonomía, desvinculando casi totalmente a la matemática de la filosofía. Dedicó su genio a la geometría, mecánica, física e ingeniería, utilizando muchas veces varios de estos caminos para obtener un resultado, como el área de un triángulo parabólico utilizando sus estudios sobre palancas y también por medio de rectángulos por defecto y por exceso, con el método de exhaución de Eudoxo. Debido a que halló áreas bajo curvas dos milenios antes de Newton[2] y Leibniz, es considerado un precursor del cálculo infinitesimal. Escribió varias obras, entre otras:

1.      Esfera y Cilindro

2.      Medida del Círculo

3.      Geoides y Esferoides

4.      Espirales

5.      Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad

6.      Cuadratura de la Parábola

7.      El Arenario

8.      Cuerpos Flotantes

9.      Los Lemas

10.    El Método

       En su obra El Arenario, o El Contador de Arena, habla sobre la cantidad de granos de arena que hay en el planeta, y sobre la que habría si el universo estuviera lleno de ella, para esto inventó una notación de números, debido a que el sistema de numeración griego, que utilizaba su alfabeto como símbolos, era muy rudimentario. Basándose en la miríada: 10.000, o bien 10⁴, llama unidad de segunda clase a la miríada de miríadas, una octava es igual a 100.000.000, o sea 10⁸. Luego prosiguió a partir de la octava como unidad, es decir que una unidad de tercera clase es una octava de octavas, es decir 10¹⁶. Considerando el tamaño del universo calculado por Aristarco como el de una esfera cuyo radio es igual a 10.000 veces el radio de la Tierra, Arquímedes calculó que el total de granos de arena que entrarían en él universo es menor que mil miríadas de unidades de octava clase, o sea 10³.10⁴.10⁵⁶ = 10⁶³.

    Demostró que la superficie de una esfera es cuatro veces la de uno de sus círculos máximos. Calculó áreas de zonas esféricas y el volumen de segmentos de una esfera. También demostró que el volumen de una esfera inscripta en un cilindro es igual a 2/3 el de este. Tan orgulloso estaba del teorema que expresó su deseo de que sea grabado en su lápida. Para llegar a esa conclusión, Arquímedes trabajó con la semiesfera, el cono y el cilindro, todos de igual base y altura; cortando estos cuerpos en rebanadas paralelas, demostró que las secciones de los dos primeros sólidos suman la sección correspondiente del tercero:

  Trabajó con valores aproximados por defecto y por exceso, llegando a valores de números irracionales con muy pequeños márgenes de error. Esto es lo que hizo en su obra Medida del círculo, que trata la rectificación de la circunferencia y el área del círculo.

    Demostró que el área de un círculo es equivalente a la de un triángulo que tiene por base la longitud de la circunferencia y por altura el radio:

  

       Arquímedes, en sus obras, admite los siguientes principios:

       1.   La línea recta es la más corta entre 2 puntos.
       2.   De dos líneas cóncavas hacia el mismo lado y que tienen los mismos extremos, es mayor la que queda fuera de la otra.
     Con sus principios realizó el primer trabajo verdaderamente positivo del cálculo de π.

      Trabajando con polígonos inscritos y circunscriptos de hasta 96 lados, Arquímedes logró asignarle a π un valor entre 223/71 (aproximadamente igual a 4,140845) y 22/7 (aproximadamente igual a 3,142857). Él parecía ser consciente de la imposibilidad de asignarle un valor decimal exacto a π.

     En otra de sus obras se refiere a la mecánica, especialmente a los principios de la palanca. Su punto de partida lo constituyen dos principios fundamentales, que bien pueden considerarse como axiomas de la mecánica.

    1.  Si se tiene una palanca en cuyos extremos actúan pesos iguales, la palanca se equilibrará colocando el punto de apoyo en el medio de ella.

     2.  Un peso se puede descomponer en dos mitades actuando a igual distancia del punto medio de la palanca.

     Luego de que Hierón II hiciera construir un enorme barco, no pudo encontrar la manera de llevarlo al mar, debido a su tamaño. Arquímedes, utilizando una máquina que él mismo inventó, logro mover con facilidad la enorme embarcación. Al recibir las felicitaciones del rey por su logro, el geómetra respondió de un modo para nada modesto, con la intención de resaltar la aplicación de la palanca como máquina multiplicadora de fuerza: “Denme un punto de apoyo y les levantaré el mundo”. El dibujo muestra como, en teoría, Arquímedes, con la ayuda de un punto de apoyo y una enorme palanca[3], mueve un poco la Tierra:

   Hay muchas famosas historias en relación con Arquímedes. Quizás la más conocida es la ocurrida en el 217 a.C., cuando Hierón le encargó a un orfebre fabricarle una corona de oro. Al recibir la hermosa obra terminada, Hierón verificó que pesaba lo mismo que el oro que él había enviado para su confección, pero algo le inspiraba desconfianza, tal vez el color de la corona o la sonrisa del orfebre. El rey sospechó que el orfebre haya mezclado el oro con otro metal, probablemente plata, robando parte del oro, y le pidió a Arquímedes que pensara en una forma para saber si la corona estaba hecha de oro puro sin destruirla. Un día Arquímedes se encontraba en el baño (algo poco usual en él) y observó que podía levantar fácilmente sus piernas cuando estaban sumergidas y que al sumergirlas el nivel del agua se elevaba, de pronto se le ocurrió una idea para resolver el problema de la corona. Fue tan grande su entusiasmo que salió desnudo del baño y corrió por las calles de Siracusa gritando su célebre exclamación: “¡Eureka!, ¡Eureka!”, que significa “lo encontré”. Para resolver el misterio Arquímedes sumergió en agua la corona y luego hizo lo mismo con una cantidad de oro de igual peso, al ver que los volúmenes del líquido desalojado en cada caso eran distintos, supo que no tenían la misma densidad, por lo tanto la corona no estaba hecha de oro puro. La picardía del orfebre le costó nada menos que su cabeza. Esta anécdota fue también la que originó el hoy llamado Principio de Arquímedes:

       “Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un impulso igual al peso del volumen de fluido que desaloja”.

       Arquímedes inventó el torno, la rueda dentada y al menos otros cuarenta inventos. Uno de sus inventos más curiosos es el tornillo sinfín, el cual se utilizaba para extraer el agua que había entrado a un barco o a los campos inundados por el Nilo.

      En el campo militar se le debe la invención de catapultas, de garfios movidos por palancas, y otras maquinas, con las cuales defendió Siracusa de los romanos durante tres años. Se dice que empleando espejos cóncavos de gran tamaño logró concentrar los rayos solares sobre la flota romana incendiándola (lo que probablemente sea sólo un mito).

    A diferencia de la mayoría de los sabios de su época, Arquímedes utilizó sus conocimientos teóricos en matemática en muchas aplicaciones prácticas, demostrando el poder de la inteligencia humana puesta al servicio del patriotismo. Finalmente Siracusa cayó en manos romanas en el año 212 a.C.

      Un día Arquímedes, absorto en el estudio de un problema, había trazado para su solución una figura geométrica en la arena cuando un legionario romano que seguramente desconocía al sabio, lo intimó a comparecer ante el cónsul Marcelo. Arquímedes le pidió que esperara que él terminara la demostración que estaba haciendo. Irritado, al no ser inmediatamente obedecido, el sanguinario romano, con un golpe de espada, le robó a la humanidad el maravilloso sabio. Marcelo, quien había ordenado respetar la vida de Arquímedes, no ocultó su pesar al saber de la muerte del gran adversario. Sobre la lápida de la tumba que erigió, hizo grabar una esfera inscripta en un cilindro, cumpliendo con la voluntad del geómetra:

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[1] Hierón II (306-215 a.C.), rey de Siracusa (265-215 a.C.). Se lo recuerda como un dirigente sabio y justo.

[2] Isaac Newton (1642-1727), físico y matemático n. en Inglaterra.

[3] Se ha calculado que un hombre que pese 80 kilos, con una palanca de 20 quintillones de kilómetros, al cabo de 20 billones de años, haría que la Tierra se traslade 25 mm.