“Dios
geometriza”
Platón
Nació en el 427 a.C. en Atenas, Grecia.
Falleció en el 348 a.C. en Atenas. Estudió filosofía con Sócrates y luego
matemática con Arquitas de Tarento y con Teodoro de Cirene. Antes de conocer a
Sócrates había sido influenciado por Crátilo, un discípulo de Heráclito. Platón
viajó por Egipto, Sicilia e Italia, y a su regreso, en el 385 a .C., fundó en Atenas su
famosa escuela filosófica: La Academia, la cual perduró hasta que el
emperador Justiniano la cerró en el siglo VI. Sin lugar a dudas Platón es
mejor conocido por su obra filosófica, sin embargo su influencia en la
matemática fue muy importante.
Dos ejemplos de sus más famosas ideas
filosóficas son:
1) La división del mundo en dos: El mundo
sensible (en el que vivimos), el cual es imperfecto, y el mundo de las ideas,
el cual es perfecto y del cual el sensible es una copia.
2) La alegoría de la caverna: explica que el
hombre no conoce la verdad tal cual es por estar dentro de una caverna, donde
sólo ve sombras de lo que ocurre fuera de ella, y que al salir de esta primero
queda cegado por la luz del Sol (verdad absoluta) y al volver a la caverna a
explicar lo que vio, los demás no lo comprenden.
Creía que no es posible
estudiar filosofía sin el conocimiento previo de las matemáticas, motivo por el
cual hizo colocar a la entrada de La Academia su célebre y significativa frase:
“Nadie puede pasar este umbral sin saber geometría”. Ésta y otras proposiciones como “los números gobiernan al
mundo” nos hacen ver que estaba directamente influenciado por las teorías
pitagóricas.
Se deben a él algunas
reglas metodológicas, dogmatizando en la geometría el uso exclusivo de la regla
y el compás, lo que se aceptó en tiempos posteriores y aún en nuestros días.
Pensaba Platón que los geómetras se rebajaban cuando usaban otros instrumentos
que no fueran los mencionados. Para poder llegar hasta la desnudez total de la
belleza de la geometría, los griegos debieron concebir figuras perfectas e
ideales. Por ejemplo: la recta ideal consiste en longitud pura y nada más, sin
espesor ni anchura ni otra cosa que no fuera longitud, dos rectas ideales, se
cortan en un punto ideal y perfecto sin absolutamente ninguna dimensión y el
cual no representa nada más que una posición. Para explicar las propiedades de
las figuras, el geómetra realiza dibujos, los cuales, por muy prolijo que éste
sea, no dejan de ser aproximaciones groseras, toscas y desprolijas respecto al
ideal que se tiene sobre las figuras que representan. El geómetra dibuja sobre
cera, barro, sobre un pizarrón o un papel, empleando una varilla puntiaguda,
una tiza, un lápiz o una lapicera. Además, para demostrar algunas de las
propiedades de las figuras geométricas suele ser necesario el empleo de otras
líneas, además de las que tiene la figura. Debido a la imperfección de cualquier
herramienta que se utilice y de la imperfección del ser humano, es natural
pensar que cuantos menos instrumentos se utilicen para dibujar y cuanto más
simples sean éstos, tanto más cerca se estará del ideal. Finalmente las
herramientas se redujeron a un elegante mínimo de dos. Una es la regla
destinada al trazado de líneas rectas (se trata de una regla sin graduar, es
decir, sin marcas que indiquen centímetros o pulgadas). La segunda herramienta
es el compás que, si bien se lo emplea para trazar circunferencias, también
sirve para marcar segmentos iguales, trazar arcos que al cortarse determinen un
punto que equidista de otros dos, etcétera.
Durante mucho tiempo
los griegos creyeron que utilizando únicamente la regla y el compás es posible
representar cualquier número sobre la recta numérica, construir un polígono
regular de cualquier número de lados, etc. Por supuesto que en tiempos de
Platón ya se sabía que utilizando herramientas más complejas ciertas construcciones
se podían simplificar y se podían construir otras que hasta entonces no se
habían podido lograr empleando sólo regla y compás, pero para los geómetras
griegos esto era algo así como mirar la respuesta antes de resolver un problema
o pescar en una pecera, se obtendrían los resultados pero no de una forma muy caballeresca.
Ejemplos de construcciones que se intentaron realizar con estas dos
herramientas básicas son los tres llamados problemas
clásicos griegos: la duplicación del cubo[1] (construir un cubo del doble de volumen de un
cubo dado), la trisección del ángulo (dividir un ángulo en tres ángulos
iguales) y la cuadratura del círculo (hallar un cuadrado de igual área que un
círculo dado). Para saber el por qué de la imposibilidad de algunas
construcciones hicieron falta muchos siglos.
Se debe también a este
filósofo las directivas que debían darse en la enseñanza de la geometría; es
decir, la organización de la exposición geométrica desde el punto de vista
lógico, como debe enseñarse y qué camino debe seguirse, así como una mayor
claridad de las definiciones, axiomas y postulados. Según él, el estudio de la
Geometría debía realizarse en el siguiente orden:
1. Definiciones
2. Axiomas
3. Postulados
4. Teoremas
[1] La leyenda dice que, durante una epidemia, el
oráculo de Delfos anunció que ésta cesaría si se duplicaba en tamaño un altar
cúbico dedicado a Apolo. Primero se cometió el error de duplicar la arista del
cubo, con lo cual el volumen resultó ocho veces mayor. Por supuesto, el oráculo
no quedó satisfecho y los matemáticos griegos luego comprendieron que la
solución correcta implicaba la multiplicación de la arista por la raíz cúbica
de 2. Finalmente lograron éxito empleando otros instrumentos y curvas de grado
superior. El oráculo fue aplacado y la epidemia cesó. Podrás creer o no en la
leyenda, pero no podrás duplicar el cubo con regla y compás.
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