CORRIENTES FILOSÓFICAS DE PENSAMIENTO MATEMÁTICO

INTUICIONISMO

· Por intuición no se refiere a algo captado por los sentidos, sino que se refiere a lo inteligible o evidente.

· El concepto fundamental de la matemática es la construcción. La construcción es una entidad mental. Un ente matemático existe únicamente si es construible.

· No acepta realidades que no podamos captar directamente.

· No se puede demostrar la verdad de una proposición refutando su falsedad, o sea que no se puede demostrar existencia de un objeto demostrando la imposibilidad de su no existencia.

· Rechazan el principio del tercer excluso.

· Rechazan la teoría de conjuntos en todo lo que se refiere al infinito no contable.

· Ninguna ciencia, ni siquiera la lógica y la filosofía pueden servir de base para la matemática.

· Deseaban separar a la matemática de la lógica porque decían que la lógica puede conducir a errores.

PRECURSORES:

Immanuel Kant (1724-1804). Filósofo alemán. Habló de la recepción de impresiones, de las cuales el ser humano no es un receptor pasivo, sino que les impone un orden y una forma, que es la intuición pura. El ser humano reconoce un objeto por medio de esas representaciones. Habló de juicios sintéticos (agregan algo nuevo al conocimiento, porque el predicado no está contenido en el sujeto) a priori (son independientes de la experiencia, provienen de la intuición pura). Este tipo de juicios corresponde a las verdades matemáticas.

Si bien en un principio se lo puede considerar un precursor, los intuicionistas lo desacreditaron por misticista. Además, siguiendo las ideas de Kant, el recorte de las matemáticas modernas sería absoluto.

Leopold Kronecker (1823-1891). Matemático polaco. Estaba en contra de las ideas de Cantor. Era finitista (un objeto matemático no existe a menos que sea construido partiendo de números naturales en un número finito de pasos).

Es famosa su frase "Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre".

Henri Poincaré (1854-1912). Matemático francés. Fue el ultimo “universalista”, luego de Gauss. Considera que el principio de inducción completa es el verdadero método de la matemática, y en el cual reside su poder creador, que es distinto de los principios de la lógica. Demostró la consistencia relativa de las geometrías no euclidianas. No se preocupaba por ser riguroso, una vez que sentía que tenía la solución de un problema lo dejaba inconcluso. Sentía aversión por la lógica. Se decía que era como una mariposa que vuela de flor en flor.

INTUICIONISTAS O NEOINTUICIONISTAS (para distinguirlos de las otras escuelas intuicionistas):

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966). Matemático holandés.

Hermann Weyl (1885-1955). Matemático alemán. Trabajó junto con Hilbert pero luego criticó sus ideas.

Arend Heyting (1898-1980). Matemático holandés especializado en lógica. Fue discípulo de Brouwer.

CRÍTICAS QUE RECIBIÓ EL INTUICIONISMO:

· Realizan un recorte de la matemática. David Hilbert dijo “el intuicionismo representa una mutilación de la matemática”, y que “deja afuera a todos los tesoros de la matemática”, ya que según el intuicionismo, quedaría afuera todo lo referente al análisis matemático y por ende a casi toda la matemática moderna. Según Hilbert “prohibirle a un matemático que utilice el principio del tercer excluso es como prohibirle a un boxeador que utilice sus puños”.

· Hay un cierto misticismo en la explicación de que ciertas cuestiones son evidentes para los seres humanos según lo afirma el intuicionismo.

LOGICISMO

· Sostiene que la matemática es reducible a la lógica, es decir que la matemática es un lenguaje de la lógica y que toda verdad matemática puede expresarse según símbolos lógicos.

· La matemática entonces es una serie de tautologías.

PRECURSORES:

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Matemático, lógico y filósofo alemán. Dijo que la matemática es la lógica de la imaginación. Intentó crear una lógica simbólica que permitiera demostrar proposiciones de cualquier rama del saber.

LOGICISTAS:

Gottlob Frege (1848-1925). Matemático, lógico y filósofo alemán. Intentó demostrar que la aritmética es parte de la lógica (para luego fundamentar toda la matemática en la aritmética) en su obra “Leyes básicas de la aritmética”. En 1902 recibe una carta de Russell con su paradoja que demuestra la inconsistencia de su obra.

Bertrand Russell (1872-1970). Matemático, lógico, filósofo y escritor galés. Para salvar las paradojas como la que él mismo inventó creó la teoría de tipos. Premio Nobel en literatura en 1950.

Alfred North Whitehead (1861-1947). Matemático y filósofo inglés. Escribió junto con Russell la obra “Principia Mathematica”, obra de tres tomos que continúa las ideas de Frege pero incluye la teoría de tipos.

CRÍTICAS QUE RECIBIÓ EL LOGICISMO:

· Impone de manera dogmática la teoría de tipos.

· No considera la parte creativa de la matemática en la formulación de conjeturas.

· La lógica requiere de un axioma que involucre al infinito.

FORMALISMO

· Eliminan a la intuición de la matemática.

· Un ente matemático existe si está exento de contradicción

· No existen conceptos correctos o incorrectos, nosotros los inventamos, el requisito es que no haya contradicciones en la teoría.

· Sostienen que la matemática es un sistema formal, es decir que las verdades primeras a partir de las cuales se construye el sistema axiomática son elegidas por su creador.

· Separa a la matemática de la filosofía.

· Considera que ni la matemática es parte de la lógica ni la lógica es parte de la matemática, pero que se desarrollaron una junta a la otra y que la matemática utiliza a la lógica en las demostraciones.

· Aceptan en su totalidad a la teoría de conjuntos de Cantor.

FORMALISTAS:

David Hilbert (1862-1943). Matemático alemán nacido en Königsberg. Creó lo que se llamó el Programa de Hilbert que intentaba fundamentar la aritmética y luego fundamentar a toda la matemática en la aritmética. También se propuso fundamentar a la física del mismo modo que a la matemática.

CRÍTICAS QUE RECIBIÓ EL FORMALISMO:

· Consideran a la matemática como a un juego sin sentido ni relación con la realidad.

· Aunque logren fundamentar una teoría, por más que esta no tenga contradicciones no significa que no esté mal desarrollada. Brouwer dijo que aunque el formalismo tuviera éxito “no se lograría nada de valor matemático; una teoría falsa que no se detiene por una contradicción, no por ello es menos falsa, del mismo modo que la criminalidad no deja de ser criminal porque un tribunal no la reprima”.

OTROS MATEMÁTICOS DE TRASCENDENCIA EN ESTAS CUESTIONES

Georg Cantor (1845-1918). Matemático nacionalizado alemán, nacido en Rusia. Creador de la Teoría de conjuntos y descubridor de los transfinitos. Muchas de las demostraciones de su teoría son por el absurdo, por lo que gran parte de ésta no fue aceptada por los intuicionistas.

Kurt Gödel (1906-1978). Matemático, lógico y filósofo austriaco-estadounidense, nació en lo que hoy es la República Checa. En 1931 demostro el teorema de la incompletitud: "No se puede establecer la consistencia de un sistema con herramientas del propio sistema". Es decir que hay ciertas proposiciones en matemática que son aparentemente verdaderas pero que jamás podrán ser demostradas.

Para más información sobre estos temas, te invito a leer:

IDEAS MODERNAS EN MATEMÁTICA

EL MILAGRO GRIEGO: PTOLOMEO

“El astrónomo debe esforzarse en conseguir el siguiente objetivo: demostrar que todos los fenómenos en el cielo los producen movimientos uniformes y circulares”

Ptolomeo

       Claudio Ptolomeo nació en Alejandría (hoy Egipto) en el año 90 de nuestra era y falleció en el 168. Fue astrónomo, astrólogo (actividades que en esa época estaban íntimamente ligadas), matemático y geógrafo. Trabajó en la famosa Biblioteca de Alejandría.

    Su obra más importante fue Almagesto, donde expuso su concepción geométrica y geocéntrica del universo, vigente hasta la época de Copérnico. Su método de trabajo difirió notablemente de la cosmovisión de Platón y Aristóteles, pues él era un empirista. Estudió la gran cantidad de datos existentes sobre el movimiento de los planetas con el fin de construir un modelo geométrico que explicase dichas posiciones en el pasado y fuese capaz de predecir sus posiciones futuras. Afirmó explícitamente que su sistema no pretendía describir la realidad, sino que era sólo un método de cálculo. Algunas diferencias notables respecto a la cosmología aristotélica es uso de órbitas excéntricas y de epiciclos (anteriormente utilizados por El Gran Geómetra Apolonio), para poder explicar la razón de los movimientos retrógrados que realizan los cuerpos celestes al girar alrededor de la Tierra, salvo la Luna y el Sol.

 

    Este aparente movimiento es explicado sencillamente en la actualidad por el modelo heliocéntrico: 

    Ptolomeo también construyó varios aparatos astronómicos con los cuales catalogó muchas estrellas según su brillo y magnitud, y estableció normas para predecir eclipses.

     Otra obra importante fue Geografía, fuente obligada de consulta para los cartógrafos hasta el Renacimiento. Allí describe el mundo de su época utilizando un sistema de latitud y longitud y afirmó la existencia de un extenso territorio al sur del planeta (o sea, la Antártida), necesario para mantener su equilibrio. Su obra Tetrabiblon es un tratado de astrología en el cual creó horóscopos según sus estudios de astronomía y de trigonometría, según el sistema sexagesimal de ángulos. En Óptica desarrolló la teoría matemática de las propiedades de la luz, sobre todo la refracción y la reflexión. Escribió un tratado de teoría musical llamado Harmónicos. Pensaba que las leyes matemáticas subyacen tanto los sistemas musicales como en los cuerpos celestes, y que ciertos modos y notas corresponden a planetas específicos, las distancias entre éstos y sus movimientos. La idea había sido propuesta por Platón en el mito de la música de las esferas. La NASA comprobó que el Sol produce un sonido no audible por el oído humano, por el casi vacío que nos separa y por su baja frecuencia. Aunque sus obras originales se perdieron, se conservan copias realizadas durante el Renacimiento.

Demostración del teorema de Ptolomeo

EL MILAGRO GRIEGO: APOLONIO DE PERGA

                             “Los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas en las que el Sol ocupa uno de los focos de la elipse”

1ª Ley de Kepler       

      Nació alrededor del 262 a.C. en Perga, Panfilia (hoy Turquía). Falleció alrededor del 190 a.C. en Alejandría (hoy Egipto). Fue conocido como “El Gran Geómetra”. Se conocen pocos detalles de su vida debido a la gran cantidad de Apolonios que había en su época. Estudió en Alejandría. En su famosa obra Cónicas, la cual consta de ocho libros, introdujo los términos usados actualmente: parábola, elipse e hipérbola. Fue también un importante fundador de la astronomía matemática griega, la cual usó modelos geométricos para explicar la teoría planetaria.

      El descubrimiento de las cónicas es atribuido a Menecmo (s. IV a.C.), un discípulo de Eudoxo. También fueron estudiadas por Euclides, Aristóteles y otros. Apolonio, en sus libros 1 al 4 de Cónicas, introduce las propiedades básicas ya conocidas. Los libros del 5 al 7 son originales; en éstos discute y muestra cómo muchas de las cónicas pueden ser dibujadas desde un punto. Da proposiciones determinando el centro de curvatura lo cual conduce inmediatamente a la ecuación cartesiana del desarrollo de la evolución. El libro número 8 está perdido, mientras que los libros del 5 al 7 sólo existen en la traducción arábiga realizada por Tabit Qurra (827-901). Muchas de sus otras obras se han perdido, sin embargo, conocemos algo de esos trabajos a partir de escritos de otros, como por ejemplo de Arquímedes y de Edmund Halley (el del cometa), quien en 1.710 tradujo al latín los siete primeros libros y reconstruyó parte del octavo.

     Apolonio demostró por primera vez y de una manera sistemática que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones cónicas con sólo variar la inclinación del plano secante al cono. Éste fue un paso decisivo en el proceso de unificar los tres tipos de curvas. Llevó el estudio de las antiguas curvas a un punto de vista más moderno al sustituir el cono de una sola hoja por un cono de dos hojas (par de conos orientados en sentido opuesto, con vértices coincidentes y ejes sobre la misma recta).

Otra generalización importante que demostró es que el cono no necesita ser recto (de eje perpendicular al plano de su base), sino que puede igualmente tomarse un cono circular oblicuo o escaleno para que al intersecarse con diferentes planos forme todas las cónicas. Mostró que rayos de luz paralelos no caen a un foco en un espejo esférico (como ha sido previamente pensado) y discutió las propiedades focales de un espejo parabólico (de ahí que las ópticas de los autos suelen tener forma de paraboloide).

       A diferencia de la mayoría de los sabios de su época, Apolonio se especializó en una sola rama de la matemática, de manera similar a como se suele hacer en nuestra época, de ahí la profundidad de su trabajo. Pappus de Alejandría (290-350) definió las cónicas mediante la razón constante entre las distancias a un punto fijo (foco) y una recta fija (directriz), pero debieron pasar dos mil años antes de que alguien más realizara descubrimientos de interés acerca de las cónicas que no aparezcan en la obra de Apolonio “El Gran Geómetra” de Perga.

EL MILAGRO GRIEGO: ERATÓSTENES

 “Eratóstenes no tenía más herramientas que palos, ojos, pies y cabeza y un gran deseo de experimentar, con ellas dedujo la circunferencia de la Tierra con una enorme precisión”

           Carl Sagan

      Nació en el 276 a.C. en Cirene (hoy Libia). Estudió y paso la mayor parte de su vida adulta en Alejandría, donde falleció en el 197 a.C. Se cree que también estudió unos años en Atenas. Fue amigo de Arquímedes, con el cual intercambió correspondencia de sus estudios. Fue matemático, astrónomo, filósofo y crítico de arte. Nunca se casó. En su vejez quedó ciego y decidió cometer suicidio muriendo de hambre.

    Eratóstenes es muy famoso por haber realizado la primera medición correcta de la circunferencia de la Tierra. Esto lo hizo alrededor del año 240 a.C. Eratóstenes sabía que al mediodía del solsticio de verano, se iluminaba el fondo de un pozo que se encontraba en la ciudad de Cirene. Eso quería decir que ese día y hora, el Sol debía encontrarse justo sobre Cirene. Ese mismo día, Eratóstenes midió la longitud de la sombra de una alta torre en la ciudad de Alejandría. Con esta información fue capaz de calcular la circunferencia de la Tierra. No estamos absolutamente seguros de su respuesta exacta porque desconocemos la longitud exacta de las unidades de distancia que usó, pero puede haber estado entre 1 y 16% de error respecto del valor real. De cualquier manera, su respuesta fue bastante buena, ¡y fue la primera persona en llevar a cabo una buena medición del tamaño de un planeta!

      Durante la época antigua, la biblioteca de Alejandría fue la más famosa de todas y Eratóstenes fue la segunda persona en ser su bibliotecario principal. Se dice que un envidioso compañero de la biblioteca lo apodó Beta, porque decía que era, en todo, el segundo mejor del mundo.

     Aparte de determinar el tamaño de la Tierra, Eratóstenes hizo otros importantes descubrimientos e invenciones. Midió la inclinación del eje terrestre con gran precisión, obteniendo él un valor a sólo 7’ de diferencia del verdadero 23º 27’.

    Compiló un catálogo estelar que contenía 675 estrellas, pero lamentablemente se ha perdido. Por sus estudios de astronomía un cráter de la Luna lleva su nombre. Eratóstenes también hizo un mapa del “mundo entero”. Este mapa sólo mostraba partes del mundo que en ese entonces conocían los griegos, pero fue el mejor mapa de su época. También diseñó un sistema de latitud y longitud, así como un calendario que incluía años bisiestos. Inventó la esfera armilar, dispositivo mecánico que los astrónomos usaron durante muchos años para determinar dónde se encontraban las estrellas en el cielo y cómo supuestamente se movían (a medida que la Tierra giraba).

       Como matemático trabajó en geometría y números primos. Es más recordado su aporte en los números primos. Inventó un fácil método de encontrar números primos. Hoy en día, este método matemático se llama La criba de Eratóstenes.

       Si Eratóstenes fuese Beta, ¿quién sería Alfa?

EL MILAGRO GRIEGO: ARQUÍMEDES DE SIRACUSA

“Denme un punto de apoyo y les levantaré el mundo”

Arquímedes

      Nació en el 287 a.C. en Siracusa, Sicilia. Estudió en Alejandría, volviendo enseguida a su patria. Falleció en el 212 a.C. Fue hijo de Fidias, un astrónomo que estaba de alguna manera emparentado con el rey Hierón II[1] de Siracusa, parentesco le permitió gozar de un buen nivel económico por lo que pudo dedicarse sin otras preocupaciones al estudio de la matemática pura. Con Arquímedes la matemática griega llega a su apogeo y fue sin duda uno de las mentes más brillantes de todos los tiempos.

    En su obra demuestra una mayor flexibilidad que torna más maleable el rígido molde euclídeo, confiriéndole mayor riqueza y autonomía, desvinculando casi totalmente a la matemática de la filosofía. Dedicó su genio a la geometría, mecánica, física e ingeniería, utilizando muchas veces varios de estos caminos para obtener un resultado, como el área de un triángulo parabólico utilizando sus estudios sobre palancas y también por medio de rectángulos por defecto y por exceso, con el método de exhaución de Eudoxo. Debido a que halló áreas bajo curvas dos milenios antes de Newton[2] y Leibniz, es considerado un precursor del cálculo infinitesimal. Escribió varias obras, entre otras:

1.      Esfera y Cilindro

2.      Medida del Círculo

3.      Geoides y Esferoides

4.      Espirales

5.      Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad

6.      Cuadratura de la Parábola

7.      El Arenario

8.      Cuerpos Flotantes

9.      Los Lemas

10.    El Método

       En su obra El Arenario, o El Contador de Arena, habla sobre la cantidad de granos de arena que hay en el planeta, y sobre la que habría si el universo estuviera lleno de ella, para esto inventó una notación de números, debido a que el sistema de numeración griego, que utilizaba su alfabeto como símbolos, era muy rudimentario. Basándose en la miríada: 10.000, o bien 10⁴, llama unidad de segunda clase a la miríada de miríadas, una octava es igual a 100.000.000, o sea 10⁸. Luego prosiguió a partir de la octava como unidad, es decir que una unidad de tercera clase es una octava de octavas, es decir 10¹⁶. Considerando el tamaño del universo calculado por Aristarco como el de una esfera cuyo radio es igual a 10.000 veces el radio de la Tierra, Arquímedes calculó que el total de granos de arena que entrarían en él universo es menor que mil miríadas de unidades de octava clase, o sea 10³.10⁴.10⁵⁶ = 10⁶³.

    Demostró que la superficie de una esfera es cuatro veces la de uno de sus círculos máximos. Calculó áreas de zonas esféricas y el volumen de segmentos de una esfera. También demostró que el volumen de una esfera inscripta en un cilindro es igual a 2/3 el de este. Tan orgulloso estaba del teorema que expresó su deseo de que sea grabado en su lápida. Para llegar a esa conclusión, Arquímedes trabajó con la semiesfera, el cono y el cilindro, todos de igual base y altura; cortando estos cuerpos en rebanadas paralelas, demostró que las secciones de los dos primeros sólidos suman la sección correspondiente del tercero:

  Trabajó con valores aproximados por defecto y por exceso, llegando a valores de números irracionales con muy pequeños márgenes de error. Esto es lo que hizo en su obra Medida del círculo, que trata la rectificación de la circunferencia y el área del círculo.

    Demostró que el área de un círculo es equivalente a la de un triángulo que tiene por base la longitud de la circunferencia y por altura el radio:

  

       Arquímedes, en sus obras, admite los siguientes principios:

       1.   La línea recta es la más corta entre 2 puntos.
       2.   De dos líneas cóncavas hacia el mismo lado y que tienen los mismos extremos, es mayor la que queda fuera de la otra.
     Con sus principios realizó el primer trabajo verdaderamente positivo del cálculo de π.

      Trabajando con polígonos inscritos y circunscriptos de hasta 96 lados, Arquímedes logró asignarle a π un valor entre 223/71 (aproximadamente igual a 4,140845) y 22/7 (aproximadamente igual a 3,142857). Él parecía ser consciente de la imposibilidad de asignarle un valor decimal exacto a π.

     En otra de sus obras se refiere a la mecánica, especialmente a los principios de la palanca. Su punto de partida lo constituyen dos principios fundamentales, que bien pueden considerarse como axiomas de la mecánica.

    1.  Si se tiene una palanca en cuyos extremos actúan pesos iguales, la palanca se equilibrará colocando el punto de apoyo en el medio de ella.

     2.  Un peso se puede descomponer en dos mitades actuando a igual distancia del punto medio de la palanca.

     Luego de que Hierón II hiciera construir un enorme barco, no pudo encontrar la manera de llevarlo al mar, debido a su tamaño. Arquímedes, utilizando una máquina que él mismo inventó, logro mover con facilidad la enorme embarcación. Al recibir las felicitaciones del rey por su logro, el geómetra respondió de un modo para nada modesto, con la intención de resaltar la aplicación de la palanca como máquina multiplicadora de fuerza: “Denme un punto de apoyo y les levantaré el mundo”. El dibujo muestra como, en teoría, Arquímedes, con la ayuda de un punto de apoyo y una enorme palanca[3], mueve un poco la Tierra:

   Hay muchas famosas historias en relación con Arquímedes. Quizás la más conocida es la ocurrida en el 217 a.C., cuando Hierón le encargó a un orfebre fabricarle una corona de oro. Al recibir la hermosa obra terminada, Hierón verificó que pesaba lo mismo que el oro que él había enviado para su confección, pero algo le inspiraba desconfianza, tal vez el color de la corona o la sonrisa del orfebre. El rey sospechó que el orfebre haya mezclado el oro con otro metal, probablemente plata, robando parte del oro, y le pidió a Arquímedes que pensara en una forma para saber si la corona estaba hecha de oro puro sin destruirla. Un día Arquímedes se encontraba en el baño (algo poco usual en él) y observó que podía levantar fácilmente sus piernas cuando estaban sumergidas y que al sumergirlas el nivel del agua se elevaba, de pronto se le ocurrió una idea para resolver el problema de la corona. Fue tan grande su entusiasmo que salió desnudo del baño y corrió por las calles de Siracusa gritando su célebre exclamación: “¡Eureka!, ¡Eureka!”, que significa “lo encontré”. Para resolver el misterio Arquímedes sumergió en agua la corona y luego hizo lo mismo con una cantidad de oro de igual peso, al ver que los volúmenes del líquido desalojado en cada caso eran distintos, supo que no tenían la misma densidad, por lo tanto la corona no estaba hecha de oro puro. La picardía del orfebre le costó nada menos que su cabeza. Esta anécdota fue también la que originó el hoy llamado Principio de Arquímedes:

       “Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un impulso igual al peso del volumen de fluido que desaloja”.

       Arquímedes inventó el torno, la rueda dentada y al menos otros cuarenta inventos. Uno de sus inventos más curiosos es el tornillo sinfín, el cual se utilizaba para extraer el agua que había entrado a un barco o a los campos inundados por el Nilo.

      En el campo militar se le debe la invención de catapultas, de garfios movidos por palancas, y otras maquinas, con las cuales defendió Siracusa de los romanos durante tres años. Se dice que empleando espejos cóncavos de gran tamaño logró concentrar los rayos solares sobre la flota romana incendiándola (lo que probablemente sea sólo un mito).

    A diferencia de la mayoría de los sabios de su época, Arquímedes utilizó sus conocimientos teóricos en matemática en muchas aplicaciones prácticas, demostrando el poder de la inteligencia humana puesta al servicio del patriotismo. Finalmente Siracusa cayó en manos romanas en el año 212 a.C.

      Un día Arquímedes, absorto en el estudio de un problema, había trazado para su solución una figura geométrica en la arena cuando un legionario romano que seguramente desconocía al sabio, lo intimó a comparecer ante el cónsul Marcelo. Arquímedes le pidió que esperara que él terminara la demostración que estaba haciendo. Irritado, al no ser inmediatamente obedecido, el sanguinario romano, con un golpe de espada, le robó a la humanidad el maravilloso sabio. Marcelo, quien había ordenado respetar la vida de Arquímedes, no ocultó su pesar al saber de la muerte del gran adversario. Sobre la lápida de la tumba que erigió, hizo grabar una esfera inscripta en un cilindro, cumpliendo con la voluntad del geómetra:

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[1] Hierón II (306-215 a.C.), rey de Siracusa (265-215 a.C.). Se lo recuerda como un dirigente sabio y justo.

[2] Isaac Newton (1642-1727), físico y matemático n. en Inglaterra.

[3] Se ha calculado que un hombre que pese 80 kilos, con una palanca de 20 quintillones de kilómetros, al cabo de 20 billones de años, haría que la Tierra se traslade 25 mm.

EL MILAGRO GRIEGO: ARISTARCO

“Eppur, si muove”(Y sin embargo, se mueve)
Galileo Galilei

   Nació en el 310 a.C. en Samos, falleció en el 230 a.C. Este astrónomo griego fue el primero en formular la teoría de que la Tierra gira sobre su eje y alrededor del Sol (teoría heliocéntrica). Sólo tenemos constancia de su afirmación a partir de los escritos de Arquímedes; ninguna de sus obras sobre este tema ha sobrevivido. Se supone que varios sabios de su época creían que su teoría podía ser verdadera (posiblemente los pitagóricos eran un ejemplo de esto), pero la opinión entonces vigente era que la Tierra estaba inmóvil en el centro del Universo, y todos los planetas, estrellas e incluso el Sol, giran alrededor de ella (teoría geocéntrica), lo que se siguió creyendo durante casi dos milenios, época en que Galileo y Kepler, basándose en teorías copernicanas[1], revolucionaron la astronomía (enfrentándose ellos también a críticas como las que había sufrido Aristarco).

     La teoría geocéntrica se defendió durante mucho tiempo a pesar de que los cálculos que debían realizarse para que los movimientos planetarios coincidan con las observaciones eran muy complejos e inexactos, mientras que la teoría heliocéntrica es mucho más sencilla. Los motivos de su defensa fueron religiosos (la Tierra es el centro del universo y es la causa de desvelo de Dios, si la Tierra es sólo un planeta más en el inmenso universo, la iglesia pierde un argumento importante de su credibilidad) y también científicos (quienes decían que la Tierra se mueve no podían explicar por qué no sentimos su movimiento ni salimos expulsados de ella).

    Aristarco también intentó describir un método de cálculo de las distancias relativas del Sol y de la Luna desde la Tierra. Aunque su método era correcto, sus cálculos no lo fueron debido a la falta de instrumentos precisos. La única de sus obras que se ha conservado es De la magnitud y la distancia del Sol y la Luna.

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[1] Nicolás Copérnico (1473-1543), n. en Polonia, Galileo Galilei (1564-1642), n. en Italia y Johannes Kepler (1571-1630), n. en Alemania.

EL MILAGRO GRIEGO: EUCLIDES

                               “Si Dios alguna vez hizo geometría, con toda seguridad recurrió a Euclides para conocer las reglas”

                                    Edward Kasner y James Newman

    Nació alrededor del 325 a.C., en Alejandría, Egipto. Después de la muerte de Alejandro Magno (en el 323 a.C.) varios generales se repartieron el poder sobre las tierras conocidas. Uno de ellos, Ptolomeo I, estableció una dinastía que habría de reinar en Egipto durante tres siglos. Transformó a su capital, Alejandría, en el centro intelectual más grande de la antigüedad, y uno de los primeros talentos que trabajó allí fue Euclides. Muy poco se sabe sobre su vida privada y se han perdido al menos la mitad de sus obras. Sus cinco obras que sobreviven son: Elementos, Los Datos, La División de Figuras, Los Fenómenos y La Óptica.

   El libro más importante y de mayor influencia fue claramente Elementos. Si bien la mayoría de los conocimientos y demostraciones que aparecen en la obra son de otros autores, la selección, el ordenamiento y sobre todo la sistematización, son propios de Euclides. Este primer sistema axiomático de la historia terminó convirtiendo a la geometría en el modelo de ciencia durante los siguientes dos mil años. Mediante una reducción atomista, partiendo de pequeñas verdades, la obra se construye con un orden y rigor impecables, conteniendo un total de 465 proposiciones (lo que hoy dividiríamos en teoremas y en construcciones), éstas son verdades fundamentadas utilizando la lógica aristotélica, 5 axiomas (o nociones comunes) y 5 postulados. Sus axiomas y postulados son verdades consideradas evidentes cuya demostración no es necesaria, ya que, según él, cualquier individuo tiene la capacidad de darse cuenta que son verdaderas. En 1482, en Venecia, se realizó su primera impresión, siendo uno de los primeros libros en imprimirse y, desde entonces, ha tenido más de mil ediciones. Su importancia científica se mantuvo indiscutida el siglo XIX, y su valor didáctico se mantuvo hasta comienzos del siglo XX, cuando aún algunas escuelas lo utilizaban como texto escolar sin que se le hicieran correcciones de importancia.

    En Elementos se evidencia la influencia platónica de Euclides. En ella no figuran aplicaciones prácticas ni ejemplos numéricos. No obstante tres libros se ocupan de aritmética, en ellos los números aparecen disfrazados de segmentos, y las propiedades numéricas se demuestran operando con esos segmentos. Si bien no menciona ningún instrumento geométrico, se dice que no admite sino construcciones con regla y compás porque aquellas que realiza son a partir de segmentos de rectas y circunferencias. Otro rasgo platónico es la importancia asignada a los poliedros regulares, a los que dedica íntegramente el último libro, como culminando la obra. En sus definiciones se percibe el carácter finito de las rectas y superficies, ya que, si bien los griegos de la época de Euclides eran conscientes de la existencia del infinito, no operaban con él, sino que lo consideraban en el devenir.

   La obra no sólo trata de geometría, sino de otros contenidos matemáticos de su época. Los cuatro primeros libros desarrollan la teoría elemental de la geometría plana y álgebra geométrica. Tratan el estudio de triángulos, ángulos, áreas, álgebra geométrica, circunferencias, figuras inscriptas y circunscriptas. Los libros V y VI contienen la teoría generalizada de la proporción. Los libros VII, VIII y IX tratan sobre aritmética, estudian los números primos, llegando incluso a demostrar que son infinitos, trata sobre progresiones, múltiplos, números pares, impares y sus relaciones. El libro X, denominado por algunos como “La cruz de los matemáticos”, se dedica al estudio de segmentos inconmensurables (los números irracionales). Los últimos tres libros, XI, XII y XIII, se dedican a la geometría del espacio; el último se trata exclusivamente de los sólidos platónicos.

    Más tarde se agregaron dos libros más a la obra. El llamado Libro XIV se debe a Hipsicles de Alejandría, del siglo II a.C., el cual agrega nuevas propiedades de los cuerpos regulares. Mucho más tarde, en el siglo V, se agregó un nuevo volumen de características muy inferiores al anterior; uno de sus autores fue Damascio, el último jefe de La Academia.

   Si bien su obra es en gran medida sobre las construcciones con regla y compás, en ella no se menciona nada acerca de lo que no se puede construir con estas herramientas, como ocurre con los tres problemas clásicos griegos. En el libro IV, por ejemplo, Euclides inscribe en una circunferencia polígonos regulares de 4, 5, 6 y 15 lados, pero no hace alusión (no dice que se pueden ni que no se pueden inscribir) a los polígonos de 7, 9, 11 y 13 lados.

  Algunos creen que Euclides era el jefe de un equipo de matemáticos y entre todos escribieron Elementos; otros dicen que es un seudónimo y que en realidad la obra fue escrita por varios sabios (tal vez uno fue Platón o Teeteto), y hasta podría considerarse una obra en gran medida filosófica, en el sentido de que enseña a demostrar como herramienta para la dialéctica, usando a la matemática por ser la ciencia más fecunda para esta función.

    Según la leyenda, el rey Ptolomeo le preguntó un día a Euclides si no podía hacer que sus demostraciones fueran un poco más fáciles de seguir, a lo que él respondió:

       “En geometría no existe ningún camino especial para los reyes”.