miércoles, 8 de octubre de 2014

CORRIENTES FILOSÓFICAS DE PENSAMIENTO MATEMÁTICO



INTUICIONISMO

· Por intuición no se refiere a algo captado por los sentidos, sino que se refiere a lo inteligible o evidente.
· El concepto fundamental de la matemática es la construcción. La construcción es una entidad mental. Un ente matemático existe únicamente si es construible.
· No acepta realidades que no podamos captar directamente.
· No se puede demostrar la verdad de una proposición refutando su falsedad, o sea que no se puede demostrar existencia de un objeto demostrando la imposibilidad de su no existencia.
· Rechazan el principio del tercer excluso.
· Rechazan la teoría de conjuntos en todo lo que se refiere al infinito no contable.
· Ninguna ciencia, ni siquiera la lógica y la filosofía pueden servir de base para la matemática.
· Deseaban separar a la matemática de la lógica porque decían que la lógica puede conducir a errores.

PRECURSORES:

Immanuel Kant (1724-1804). Filósofo alemán. Habló de la recepción de impresiones, de las cuales el ser humano no es un receptor pasivo, sino que les impone un orden y una forma, que es la intuición pura. El ser humano reconoce un objeto por medio de esas representaciones. Habló de juicios sintéticos (agregan algo nuevo al conocimiento, porque el predicado no está contenido en el sujeto) a priori (son independientes de la experiencia, provienen de la intuición pura). Este tipo de juicios corresponde a las verdades matemáticas.
Si bien en un principio se lo puede considerar un precursos, los intuicionistas lo desacreditaron por misticista. Además, siguiendo las ideas de Kant, el recorte de las matemáticas modernas sería absoluto.

Leopold Kronecker (1823-1891). Matemático polaco. Estaba en contra de las ideas de Cantor. Era finitista (un objeto matemático no existe a menos que sea construido partiendo de números naturales en un número finito de pasos).
Es famosa su frase "Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre".

Henri Poincaré (1854-1912). Matemático francés. Fue el ultimo “universalista”, luego de Gauss. Demostró la consistencia relativa de las geometrías no euclidianas. No se preocupaba por ser riguroso, una vez que sentía que tenía la solución de un problema lo dejaba inconcluso. Sentía aversión por la lógica. Se decía que era como una mariposa que vuela de flor en flor.

INTUICIONISTAS O NEOINTUICIONISTAS (para distinguirlos de las otras escuelas intuicionistas):

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966). Matemático holandés.

Hermann Weyl (1885-1955). Matemático alemán. Trabajó junto con Hilbert pero luego criticó sus ideas.

Arend Heyting (1898-1980). Matemático holandés especializado en lógica. Fue discípulo de Brouwer.

CRÍTICAS QUE RECIBIÓ EL INTUICIONISMO:

· Realizan un recorte de la matemática. David Hilbert dijo “el intuicionismo representa una mutilación de la matemática”, y que “deja afuera a todos los tesoros de la matemática”, ya que según el intuicionismo, quedaría afuera todo lo referente al análisis matemático y por ende a casi toda la matemática moderna.
· Hay un cierto misticismo en la explicación de que ciertas cuestiones son evidentes para los seres humanos según lo afirma el intuicionismo.


LOGICISMO

· Sostiene que la matemática es reducible a la lógica, es decir que la matemática es un lenguaje de la lógica y que toda verdad matemática puede expresarse según símbolos lógicos.
· La matemática entonces es una serie de tautologías.


PRECURSORES:

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Matemático, lógico y filósofo alemán. Dijo que la matemática es la lógica de la imaginación. Intentó crear una lógica simbólica que permitiera demostrar proposiciones de cualquier rama del saber.


LOGICISTAS:

Gottlob Frege (1848-1925). Matemático, lógico y filósofo alemán. Intentó demostrar que la aritmética es parte de la lógica (para luego fundamentar toda la matemática en la aritmética) en su obra “Leyes básicas de la aritmética”. En 1902 recibe una carta de Russell con su paradoja que demuestra la inconsistencia de su obra.

Bertrand Russell (1872-1970). Matemático, lógico, filósofo y escritor galés. Para salvar las paradojas como la que él mismo inventó creó la teoría de tipos. Premio Nobel en literatura en 1950.

Alfred North Whitehead (1861-1947). Matemático y filósofo inglés. Escribió junto con Russell la obra “Principia Mathematica”, obra de tres tomos que continúa las ideas de Frege pero incluye la teoría de tipos.

CRÍTICAS QUE RECIBIÓ EL LOGICISMO:
· Impone de manera dogmática la teoría de tipos.
· No considera la parte creativa de la matemática en la formulación de conjeturas.
· La lógica requiere de un axioma que involucre al infinito.


FORMALISMO

· Eliminan a la intuición de la matemática.
· Un ente matemático existe si está exento de contradicción
· No existen conceptos correctos o incorrectos, nosotros los inventamos, el requisito es que no haya contradicciones en la teoría.
· Sostienen que la matemática es un sistema formal, es decir que las verdades primeras a partir de las cuales se construye el sistema axiomática son elegidas por su creador.
· Separa a la matemática de la filosofía.
· Considera que ni la matemática es parte de la lógica ni la lógica es parte de la matemática, pero que se desarrollaron una junta a la otra y que la matemática utiliza a la lógica en las demostraciones.
· Aceptan en su totalidad a la teoría de conjuntos de Cantor.

FORMALISTAS:

David Hilbert (1862-1943). Matemático alemán nacido en Königsberg. Creó lo que se llamó el Programa de Hilbert que intentaba fundamentar la aritmética y luego fundamentar a toda la matemática en la aritmética. También se propuso fundamentar a la física del mismo modo que a la matemática.

CRÍTICAS QUE RECIBIÓ EL FORMALISMO:
· Consideran a la matemática como a un juego sin sentido ni relación con la realidad.
· Aunque logren fundamentar una teoría, por más que esta no tenga contradicciones no significa que no esté mal desarrollada. Brouwer dijo que aunque el formalismo tuviera éxito “no se lograría nada de valor matemático; una teoría falsa que no se detiene por una contradicción, no por ello es menos falsa, del mismo modo que la criminalidad no deja de ser criminal porque un tribunal no la reprima”.


OTROS MATEMÁTICOS DE TRASCENDENCIA EN ESTAS CUESTIONES

Georg Cantor (1845-1918). Matemático nacionalizado alemán, nacido en Rusia. Creador de la Teoría de conjuntos y descubridor de los transfinitos. Muchas de las demostraciones de su teoría son por el absurdo, por lo que gran parte de ésta no fue aceptada por los intuicionistas.

Kurt Gödel (1906-1978). Matemático, lógico y filósofo austriaco-estadounidense, nació en lo que hoy es la República Checa. En 1931 demostro el teorema de la incompletitud: "No se puede establecer la consistencia de un sistema con herramientas del propio sistema". Es decir que hay ciertas proposiciones en matemática que son aparentemente verdaderas pero que jamás podrán ser demostradas.

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