HISTORIA DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Los problemas del Caballero de Meré

Tomado con moderación, el juego por dinero tiene virtudes innegables. Mientras que la indulgencia a sus placeres ha estado siempre más allá de la valla del temor a los fuegos del infierno, los grandes casinos y las respetables compañías de seguros se levantan como monumentos a una ciencia que tuvo sus orígenes en el cubilete de dados.

Cierto día del año 1654, Blaise Pascal (1623-1662) hacía un viaje en compañía de un escritor francés llamado Antonie Gombaud (1607-1684), quien a pesar de no pertenecer a la nobleza adoptó el titulo de Chevallier (Caballero) y como había estudiado en Meré, era conocido como el Caballero de Meré. Este Caballero era una persona apasionada por todo lo relacionado con el juego de los dados y las cartas, siendo además un hombre noble e ilustrado. Él creyó haber encontrado una falsedad en los números al analizar el juego de los dados, observando que el comportamiento de los dados era diferente cuando se utilizaba un dado que cuando se empleaban dos dados. La “falsedad” partía simplemente de una comparación errónea entre las probabilidades de sacar un seis con un sólo dado o de sacar un seis con dos dados. Para el Caballero debía existir una relación proporcional entre el número de jugadas necesarias para conseguir el efecto deseado en uno y otro caso. El problema estaba en que el citado caballero no tuvo en cuenta que en el segundo caso estaba analizando una probabilidad compuesta en donde las distintas probabilidades se deben calcular multiplicativamente.

Éste y otros problemas planteados por el caballero a Pascal sobre cuestiones relacionadas con diferentes juegos de azar dieron origen a una correspondencia entre el propio Pascal y algunos de sus amigos matemáticos, sobre todo con Pierre de Fermat (1601-1665) de Toulouse, abogado de profesión pero gran amante de la matemática.

Esta correspondencia constituye el origen de la teoría moderna de la probabilidad.

En una carta de Pascal a Fermat, en la que narraba la anécdota anteriormente mencionada, concluía que "el Caballero de Meré tiene mucho talento, pero no es geómetra; esto es, como sabes, un gran defecto". (Carta del 29 de julio de 1654).

En aquella época el juego de azar estaba prohibido y el castigo era la cárcel, debido a esto muchas veces las partidas debían suspenderse y el dinero era repartido de forma justa entre los apostadores. Una vez el Caballero de Meré se econtró en la siguiente situación: En una partida de dados intervienen dos jugadores y apuestan 32 doblones de oro cada uno, eligiendo un número diferente, gana el juego el primero que obtenga tres veces el número que eligió. Después de un rato de juego, el número elegido por el primer apostador ha salido dos veces mientras el otro jugador sólo una vez ha acertado, en este instante la partida debe suspenderse. ¿Cómo dividir los 64 doblones de oro apostados? ¿En qué proporción ha de ser compensado cada jugador?

En la correspondencia que siguió a este problema, tanto Pascal como Fermat estuvieron de acuerdo en que el primer jugador tiene derecho a 48 doblones de oro.

Veamos el último de los problemas históricos (al ser su solución parte del inicio de la probabilidad actual) que propuso el caballero y resolvieron Pascal y Fermat:

Se lanza 24 veces un par de dados, ¿es conveniente apostar a favor o en contra de la aparición de por lo menos un doble seis?

Solución:

A= {No sacar un doble seis en una tirada de dos dados},

P(A) = 35/36

P(A y A y A………24 veces….y A) = (35/36)²⁴

Este número vale aproximadamente 0,508596 y por lo tanto la probabilidad del suceso contrario será:

1 –  P(A y A….24 veces…y A)

= 1 – 0,508596 = 0,491404

Es decir, es más probable no obtener una vez un doble seis en 24 tiradas que obtenerlo al menos una vez. En cambio, para 25 tiradas cambian las cosas, pues: 1 – (35/36)²⁵= 0,505531.

Pascal y Fermat resolvieron este problema y muchos otros, y fueron los que comenzaron a formalizar la teoría de las probabilidades, probando el desacuerdo con el caballero de Meré, que se debía a que era erróneo el cálculo que había efectuado, ya que se equivocó en considerar equiprobables sucesos que no lo eran, y sólo cuando los casos posibles son equiprobables tiene sentido aplicar la definición que él había dado.

Las aportaciones de Pascal a las probabilidades se extienden a muchos campos como el de la filosofía e incluso al de la teología, intentando argumentar la creencia en Dios en términos probabilísticas y gananciales, en sus propias palabras: "Si creemos en Dios y él no existe, no perdemos nada, pero si no creemos en él y existe, lo perdemos todo" (probabilística y ganancialmente es mejor creer que no creer, es decir, es mejor actuar como si existiera, por si acaso existe).

Un triángulo casi mágico

Pascal publicó una obra llamada Tratado sobre el triángulo aritmético, la más importante contribución realizada hasta la fecha en el ámbito de la combinatoria. El libro se basa en la construcción y propiedades combinatorias del Triángulo de Pascal. Este triángulo es también llamado Triángulo de Tartaglia, ya que el ingeniero y matemático italiano Niccolò “Tartaglia” Fontana (1500-1557) ya había puesto los números combinatorios formando un triángulo y estudiado algunas de sus propiedades.

El Triángulo de Pascal tiene la siguiente forma:

Algunas propiedades del Triángulo de Pascal son:

ü  La k-ésima entrada de la n-ésima columna es igual al número combinatorio nCk.

ü  La suma de todos los elementos de la fila n-ésima es 2ⁿ.

ü  Si tomamos a cada fila como un solo número, estos serán las potencias de 11 (en la quinta fila, por ejemplo, al diez se lo transforma en un cero y se suma 1 al siguiente número, en este caso el número que queda es 161051, que es igual a 11⁵).

ü  Los números de cada fila son los coeficientes de la potencia de un binomio.

ü  La tercera diagonal es la sucesión de los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …

ü  Sumando sus números en forma diagonal se obtienen los términos de la sucesión de Fibonacci. En el triángulo anterior aparecen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.

Otros que no pueden ser olvidados

Casi un siglo antes de Pascal y Fermat, un médico y matemático italiano llamado Gerolamo Cardano (1501-1576) realizó los primeros descubrimientos del cálculo de probabilidades, utilizándolo para ganar dinero en juegos de apuestas, uno de los tantos vicios que tenía. Su compatriota Galileo Galilei (1564-1642) escribió un artículo en el cual, por medio de combinatoria, realiza cálculos de probabilidades en un juego de tres dados.

Ni Pascal ni Fermat expusieron sus resultados por escrito y fue el físico-matemático holandés Christiaan Huygens (1629-1695) quien en 1657 publicó un breve tratado titulado "De ratiocinnis in ludo aleae" (sobre los razonamientos relativos a los juegos de dados) inspirado en la correspondencia sostenida entre los dos creadores de la teoría. En su obra extendió algunos resultados de Pascal y aclaró varios problemas para tres o más jugadores.

El matemático y astrónomo francés Pierre Simon Laplace (1749-1827) también trabajó sobre la teoría de la probabilidad en sus obras Teoría analítica de las probabilidades (1812) y Ensayo filosófico sobre la probabilidad (1814). Laplace dio la definición clásica de probabilidad que sería usada por más de un siglo, hasta la aparición de la teoría de conjuntos:

El problema es que todos estos casos deben ser equiprobables, por lo que, para definir probabilidad con esta fórmula, se debe utilizar la palabra equiprobable.

Las distribuciones de probabilidad discretas son llamadas de Bernoulli, en honor al matemático suizo Jakob Bernoulli (1654-1705), quien estuvo siempre al último grito de la moda en lo que se refiere a la matemática contribuyendo en gran medida, entre otras cosas, al cálculo de probabilidades y al cálculo diferencial recientemente descubierto por Newton y Leibniz.

       La curva normal fue descubierta por Abraham de Moivre (1667-1754), quien publicó sus descubrimientos en 1733. A pesar de esto, suele ser llamada curva (o campana) de Gauss.

       Siméon Denis Poisson (1781-1840), físico y matemático francés discípulo de Laplace, es conocido por sus contribuciones teóricas a la electricidad y al magnetismo, aunque también publicó obras sobre el cálculo de variaciones, la geometría diferencial y la teoría de la probabilidad. La distribución de Poisson es un caso particular de distribución de Bernoulli.

       El matemático ruso Andrei Andreyevich Markov (1856-1922), es famoso por sus “Cadenas de Markov”. Halló la manera de calcular sucesos aleatorios dependientes de manera muy rápida mediante el uso de matrices y vectores. Sus estudios han encontrado aplicaciones en una ciencia tan moderna como lo es la herencia genética.

               Axiomática de probabilidad

       En 1933, el matemático ruso Andrei Kolmogórov (1903-1987), desarrolló la base axiomática que supone el pilar básico de la teoría de la probabilidad, logrando así fundamentarlo en la teoría de conjuntos. Quedó entonces bien definido el concepto de probabilidad.

A₁) La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que 0.

A₂) La probabilidad del total (del espacio muestral) Ω es igual a 1.

A₃) Si A₁ y A₂ son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles, disjuntos o de intersección vacía), entonces:

Este axioma se generaliza de la siguiente manera:

Si A₁, A₂, A₃, … son sucesos mutuamente excluyentes dos a dos, entonces:

       Utilizando estos tres axiomas se demuestran numerosos teoremas como los siguientes:

T₁) La probabilidad del suceso vacío es 0.

T₂) La probabilidad del complemento de un suceso es igual a la diferencia entre 1 y la probabilidad del suceso.

T₃) La probabilidad de la unión de sucesos es igual a la suma de las probabilidades de dichos sucesos, menos la probabilidad de la intersección.

T₄) Si A está contenido en B, la probabilidad de A es menor o igual a la probabilidad de B.

 

Bibliografía

ü  Kasner, E., Newman, J. (1985). Matemáticas e Imaginación. España. Editorial Hyspamérica Ediciones S. A.

ü     Newman, J. (1977). Sigma, el mundo de las matemáticas. Barcelona, España. Editorial Grijalbo.

ü   Courant, R., Robbins, H., Stewart, I. (2010). ¿Qué son las matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales. México. Editorial Fondo de Cultura Económica.

ü      Bell, E. T. (2010). Historia de las matemáticas. México. Editorial Fondo de Cultura Económica.

ü    Rey Pastor, J., Babini, J. (2006). Historia de la Matemática, Volúmenes 1 y 2. Barcelona, España. Editorial Gedisa.

ü   Stewart, I. (2009). Historia de las matemáticas en los últimos 10.000 años. Tercera edición. Barcelona, España. Editorial Crítica.