CONSTRUCCIÓN DE LAS CÓNICAS CON DOBLECES

       Utilizando las propiedades de las cónicas, se puede construir cada una de ellas utilizando una hoja (preferentemente de calcar). Haciendo dobleces sobre la misma de manera tal de hacer coincidir 2 puntos diferentes, los mismos dobleces que quedan marcados van encerrando a la curva. A medida que se trazan más rectas, la cónica se puede observar con mayor claridad. En el límite (si pudiéramos trazar las infinitas mediatrices), la cónica queda perfectamente delimitada.

ELIPSE

ü  Sobre una hoja se traza una circunferencia de centro C.

ü  Se marca un punto P, distinto de C, interior a la circunferencia.

ü  Se marcan puntos sobre la circunferencia: Q, Q’, Q’’, etc. Se hace coincidir, doblando el papel, a estos puntos con el punto P. Esto es lo mismo que trazar las mediatrices entre P y cada uno de los puntos de la circunferencia.

ü  Las rectas así trazadas van formando una elipse cuyos focos son C y P.

Justificación:

   Se marca un punto R sobre la elipse y se trazan sus radios vectores. R está sobre una de las mediatrices trazadas, por lo que su distancia a P y su distancia al correspondiente punto Q sobre la circunferencia son iguales (Q es el simétrico de P respecto de la mediatriz que contiene al punto R). Se puede hacer el camino inverso: dado un punto Q sobre la circunferencia, el punto de la mediatriz del segmento PQ que pertenece a la elipse es aquel que está alineado con C. El segmento RP (uno de los radios vectores) es de igual medida que RQ, porque R pertenece a la mediatriz de PQ; entonces la suma de RC y RQ debe ser igual a una constante (La suma de los radios vectores de una elipse es igual a 2a), y ambos sumandos son igual al radio de la circunferencia. Se llega a la conclusión de que el eje principal de la elipse es de igual medida que el radio de la circunferencia.

HIPÉRBOLA

ü  Sobre una hoja se traza una circunferencia de centro C.

ü  Se marca un punto P exterior a la circunferencia.

ü  Se marcan puntos sobre la circunferencia: Q, Q’, Q’’, etc. Se hace coincidir, doblando el papel, a estos puntos con el punto P. Esto es lo mismo que trazar las mediatrices entre P y cada uno de los puntos de la circunferencia.

ü  Las rectas así trazadas van formando una hipérbola cuyos focos son C y P.

Justificación:

       Se marca un punto R sobre la hipérbola y se trazan sus radios vectores. R está sobre una de las mediatrices trazadas, por lo que su distancia a P y su distancia al correspondiente punto Q sobre la circunferencia son iguales (Q es el simétrico de P respecto de la mediatriz que contiene al punto R). Se puede hacer el camino inverso: dado un punto Q sobre la circunferencia, el punto de la mediatriz del segmento PQ que pertenece a la hipérbola es aquel que está alineado con C. El segmento RP (uno de los radios vectores) es de igual medida que RQ, porque R pertenece a la mediatriz de PQ; entonces la diferencia entre RQ y RC debe ser igual a una constante (La diferencia de los radios vectores de una hipérbola es igual a 2a), y esta diferencia es igual al radio de la circunferencia. Se llega a la conclusión de que el eje principal de la hipérbola es de igual medida que el radio de la circunferencia.

            

PARÁBOLA

ü  Sobre una hoja se traza una recta r.

ü  Se marca un punto P no perteneciente a r.

ü Se marcan puntos sobre la recta: Q, Q’, Q’’, etc. Se hace coincidir, doblando la hoja, a estos puntos con el punto P. Esto es lo mismo que trazar las mediatrices entre P y cada uno de los puntos de la recta.

ü  Las rectas así trazadas van formando una parábola cuyo foco es el punto P y cuya directriz es la recta.

Justificación:

     Se marca un punto cualquier sobre la parábola, se traza su radio vector y el segmento perpendicular que va desde este punto a la recta, al punto intersección lo llamamos Q. Se puede observar el punto de la parábola elegido pertenece a la mediatriz del segmento PQ, por lo que el radio vector y el segmento perpendicular son congruentes (la mediatriz es el lugar geométrico de puntos que equidistan de dos puntos dados).
    El único caso en el que el punto de la curva es aquel que se encuentra más cerca del foco y de la directriz de todos aquellos pertenecientes a la mediatriz correspondiente, es en el vértice de la parábola.