INTUICIONISMO
· Por intuición no se refiere a algo
captado por los sentidos, sino que se refiere a lo inteligible o evidente.
· El concepto fundamental de la matemática
es la construcción. La construcción es una entidad mental. Un ente matemático
existe únicamente si es construible.
· No acepta realidades que no podamos
captar directamente.
· No se puede demostrar la verdad de una
proposición refutando su falsedad, o sea que no se puede demostrar existencia
de un objeto demostrando la imposibilidad de su no existencia.
· Rechazan el principio del tercer
excluso.
· Rechazan la teoría de conjuntos en todo
lo que se refiere al infinito no contable.
· Ninguna ciencia, ni siquiera la lógica y
la filosofía pueden servir de base para la matemática.
· Deseaban separar a la matemática de la
lógica porque decían que la lógica puede conducir a errores.
PRECURSORES:
Immanuel Kant
(1724-1804). Filósofo alemán. Habló de la recepción de impresiones, de las
cuales el ser humano no es un receptor pasivo, sino que les impone un orden y
una forma, que es la intuición pura. El ser humano reconoce un objeto por medio
de esas representaciones. Habló de juicios sintéticos (agregan algo nuevo al
conocimiento, porque el predicado no está contenido en el sujeto) a priori (son
independientes de la experiencia, provienen de la intuición pura). Este tipo de
juicios corresponde a las verdades matemáticas.
Si bien en un principio se lo puede considerar un precursor, los intuicionistas lo desacreditaron por misticista. Además, siguiendo las ideas de Kant, el recorte de las matemáticas modernas sería absoluto.
Leopold Kronecker
(1823-1891). Matemático polaco. Estaba en contra de las ideas de Cantor. Era
finitista (un objeto matemático no existe a menos que sea construido partiendo
de números naturales en un número finito de pasos).
Es famosa su frase "Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre".
Henri
Poincaré (1854-1912). Matemático francés. Fue el ultimo
“universalista”, luego de Gauss. Considera que el principio de inducción completa es el verdadero método de la matemática, y en el cual reside su poder creador, que es distinto de los principios de la lógica. Demostró la consistencia relativa de las
geometrías no euclidianas. No se preocupaba por ser riguroso, una vez que
sentía que tenía la solución de un problema lo dejaba inconcluso. Sentía
aversión por la lógica. Se decía que era como una mariposa que vuela de flor en
flor.
INTUICIONISTAS O
NEOINTUICIONISTAS (para distinguirlos de las otras escuelas intuicionistas):
Luitzen
Egbertus Jan Brouwer (1881-1966). Matemático holandés.
Hermann
Weyl
(1885-1955). Matemático alemán. Trabajó junto con Hilbert pero luego criticó
sus ideas.
Arend
Heyting (1898-1980). Matemático holandés especializado en
lógica. Fue discípulo de Brouwer.
CRÍTICAS QUE RECIBIÓ EL
INTUICIONISMO:
· Realizan un recorte de la matemática.
David Hilbert dijo “el intuicionismo representa una mutilación de la
matemática”, y que “deja afuera a todos los tesoros de la matemática”, ya que
según el intuicionismo, quedaría afuera todo lo referente al análisis
matemático y por ende a casi toda la matemática moderna. Según Hilbert “prohibirle a un matemático que utilice el principio del tercer excluso es como prohibirle a un boxeador que utilice sus puños”.
· Hay un cierto misticismo en la explicación
de que ciertas cuestiones son evidentes para los seres humanos según lo afirma
el intuicionismo.
LOGICISMO
· Sostiene que la matemática es reducible
a la lógica, es decir que la matemática es un lenguaje de la lógica y que toda
verdad matemática puede expresarse según símbolos lógicos.
· La matemática entonces es una serie de
tautologías.
PRECURSORES:
Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716). Matemático, lógico y
filósofo alemán. Dijo que la matemática es la lógica de la imaginación. Intentó
crear una lógica simbólica que permitiera demostrar proposiciones de cualquier
rama del saber.
LOGICISTAS:
Gottlob
Frege (1848-1925). Matemático, lógico y filósofo alemán.
Intentó demostrar que la aritmética es parte de la lógica (para luego
fundamentar toda la matemática en la aritmética) en su obra “Leyes básicas de
la aritmética”. En 1902 recibe una carta de Russell con su paradoja que
demuestra la inconsistencia de su obra.
Bertrand
Russell (1872-1970). Matemático, lógico, filósofo y
escritor galés. Para salvar las paradojas como la que él mismo inventó creó la
teoría de tipos. Premio Nobel en literatura en 1950.
Alfred
North Whitehead (1861-1947). Matemático y filósofo
inglés. Escribió junto con Russell la obra “Principia Mathematica”, obra de
tres tomos que continúa las ideas de Frege pero incluye la teoría de tipos.
CRÍTICAS QUE RECIBIÓ EL
LOGICISMO:
· Impone de manera dogmática la teoría de
tipos.
· No considera la parte creativa de la
matemática en la formulación de conjeturas.
· La lógica requiere de un axioma que
involucre al infinito.
FORMALISMO
· Eliminan a la intuición de la matemática.
· Un ente matemático existe si está exento
de contradicción
· No existen conceptos correctos o
incorrectos, nosotros los inventamos, el requisito es que no haya
contradicciones en la teoría.
· Sostienen que la matemática es un
sistema formal, es decir que las verdades primeras a partir de las cuales se
construye el sistema axiomática son elegidas por su creador.
· Separa a la matemática de la filosofía.
· Considera que ni la matemática es parte
de la lógica ni la lógica es parte de la matemática, pero que se desarrollaron
una junta a la otra y que la matemática utiliza a la lógica en las
demostraciones.
· Aceptan en su totalidad a la teoría de
conjuntos de Cantor.
FORMALISTAS:
David
Hilbert (1862-1943). Matemático alemán nacido en
Königsberg. Creó lo que se llamó el Programa de Hilbert que intentaba
fundamentar la aritmética y luego fundamentar a toda la matemática en la
aritmética. También se propuso fundamentar a la física del mismo modo que a la
matemática.
CRÍTICAS QUE RECIBIÓ EL
FORMALISMO:
· Consideran a la matemática como a un
juego sin sentido ni relación con la realidad.
· Aunque logren fundamentar una teoría,
por más que esta no tenga contradicciones no significa que no esté mal
desarrollada. Brouwer dijo que aunque el formalismo tuviera éxito “no se
lograría nada de valor matemático; una teoría falsa que no se detiene por una
contradicción, no por ello es menos falsa, del mismo modo que la criminalidad
no deja de ser criminal porque un tribunal no la reprima”.
OTROS
MATEMÁTICOS DE TRASCENDENCIA EN ESTAS CUESTIONES
Georg
Cantor (1845-1918). Matemático nacionalizado alemán, nacido
en Rusia. Creador de la Teoría de conjuntos y descubridor de los transfinitos.
Muchas de las demostraciones de su teoría son por el absurdo, por lo que gran
parte de ésta no fue aceptada por los intuicionistas.
Kurt Gödel (1906-1978). Matemático, lógico y filósofo austriaco-estadounidense, nació en lo que hoy es la República Checa. En 1931 demostro el teorema de la incompletitud: "No se puede establecer la consistencia de un sistema con herramientas del propio sistema". Es decir que hay ciertas proposiciones en matemática que son aparentemente verdaderas pero que jamás podrán ser demostradas.
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